3Wilcoxon符号秩检验.ppt

§2.2 Wilcoxon符号秩检验 Wilcoxon符号秩检验 ( Wilcoxon signed-rank test )是非参数统计中符号检验法的改进，它不仅利用了观察值和原假设中心位置的差的正负，还利用了差的值的大小的信息。虽然是简单的非参数方法，但却体现了秩的基本思想。 例 2. 4 下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒量（相当于纯酒精数）（单位：升）。数据已经按升幂排列。 4.12 5.18 7.63 9.74 10.39 11.92 12.32 12.89 13.54 14.45 人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中 位数相当于纯酒精8升，也就是me0=8。由数据 算得的中位数为11.16。因此，我们的检验设为： H0：me＝8 ，H1：me 8 先计算每个样本值和原假设中me0的值之差，即Xi－8。 考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到大排序，从而求出这些绝对值的秩。 再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之和，如果这个和比较大，我们就拒绝原假设，接受备择假设。 问题一般提法： 假定样本X1, … , X n来自分布连续对称的总体X，在此假定下总体X的中位数等于均值。 问题主要是检验中位数，即原检验为H0：me=me0，相对于各种单双边的备择假设。 注： （1）与符号检验不同： Wilcoxon符号秩检验假设总体分布是对称的。 （2）在总体分布对称的假设下，即设总体X的分布关于点θ对称，则X的均值和中位数相同，且均为θ。所以检验总体中位数可等价于检验总体对称中心。即检验的原假设 H0：M=M0 等价于 H0：θ=θ0（相对于各种单双边的备择假设）。 检验步骤： H0： θ＝θ0 （对应于各单双边备择假设） Step 1. 计算 i=1, 2, … , n。记差为z i. Step 2. 将差z i.的绝对值，即 … , 按从小到大的顺序排列。由于总体服从连续型分布，不妨假定样本互不相等，都不等于0，且样本差的绝对值也互不相等。所以可得到样本z i.的绝对值的秩，不妨记 的秩为R i。 Step 3. 符号秩和检验统计量为 其中 或者取检验统计量为 其中 主要取W＋为检验统计量。 Step 4 设w＋表示由样本算出的W＋的值。 （1） H0： θ＝θ0 , H1： θθ0 p值＝P( W＋≥ w＋ )； （2） H0： θ＝θ0 , H1： θθ0 p值＝P( W＋≤ w＋ )； （3） H0： θ＝θ0 , H1： θ≠θ0 p值＝2min{P( W＋≥ w＋ )，P(W＋≤ w＋)} 对Step 4的注解： 对于对称中心不为0的总体分布，可以转 化为中心为0的情况进行检验！ 现不妨假设θ0＝0，则原假设变为 H0：θ＝0 对于这种检验，通过严格的证明来说明p值 的选取。 （1）H0： θ＝0 , H1： θ0。 若H1成立，则总体X的分布关于点θ对称。 从而有， P( X0 ) P( X0 ) ， 且对任意正数a， P( Xa ) P( X－a )。 所以当H1成立，不仅观察到的取正值的样本 数据的个数比较多，且取正值的样本数据的 拒绝值也比较大。由此，H1成立时，W＋的值 较大 。所以p值＝P( W＋≥ w＋)。 例 2. 2中我们的检验设为： H0：M＝8 ，H1：M 8 下面来用Wilcoxon符号秩检验，等价于检验 H0：θ＝8 ，H1： θ 8 检验步骤 Step 1. 对于 i=1, 2, … , n，计算得到新的样本zi和它们对应的秩如下：