4.2概率论与数理统计(复旦大学出版社)南京财经大学朱玲妹老师的课件.ppt

* * §2 方 差 返回目录 例1 某人有一笔资金投入两个项目.通过调查该人认为如购置房地产的收益X(万元),开商店的收益Y(万元) 它们的分布律分别为 问该人如何投资为好? 定义 X 是一个随机变量, 若E{[ X - E(X)]2}存在,称E{[ X - E(X)]2} 为X的方差,记为D(X) 或Var (X). 随机变量X 的期望E(X)存在,称X - E(X)为X的离差. 为X的标准差或均方差. 方差的计算公式 证明: 例1 0—1 分布 X 的分布律 例2 X 服从参数为λ的泊松分布,求 例3 X ~ U (a,b) , 求D(X) X 的密度函数 例4 随机变量 X 服从指数分布,其概率密度为： 求: E(X) ,D(X) 1. C 是常数, 2. C 是常数,X 是随机变量, 1* D(X)≥ 0 , 是一个正数; 2* D(X)较大, 随机变量X 的可能取值分散在E(X)的附近; D(X)较小, 随机变量X 的可能取值密集在E(X)的附近. 方差的简单性质: 3. X, Y 是任意两个随机变量， 证： X 与Y 相互独立 证: ∵X 与Y 相互独立 存在常数 C， 推广: X1, X2,…, Xn相互独立 例5 求 X1, X2,…, Xn相互独立, Xi : 第i 次贝努里试验中A出现的次数 Xi 服从0-1分布, 例6 标准化随机变量 为 X 的标准化随机变量 例7 求 解: 令 X1, X2,…, Xn相互独立, a1,…,an不全为零 例8 活塞的直径 (cm) 气缸的直径 (cm) X,Y 相互独立,任取一个活塞,求活塞能装入气缸的概率. 解: 切比雪夫不等式 定理 随机变量X, 设 E(X) =μ和D(X) =σ2都存在, 证明: 设离散型随机变量X(连续型类似证明) X 的分布律为 2* 不等式描述了离差与方差之间的关系, 方差的概率意义是刻画了随机变量取值的分散程度. D(X) 越小, X 的取值越集中在E(X)的附近. 4* 不等式只用E(X) ,D(X) 来描述 X 的变化规律, 在理论研究和实际应用中都有价值. 1* 等价形式 3* 随机变量X 的分布未知, 可估计事件 的概率; 例 星期六上午到小客车陈列室的顾客人数 X 是一个随机变量,其分布未知, 但知 E(X) =18 (人),标准差σ=2.5 (人),试问X 在 8 到 28 之间的概率是多少? 存在常数 C， 表明: 在方差为零的情况下,除去一个零概率事件外,X 是仅取μ一个值的随机变量. 思考题： 1. 设X 是一个随机变量， 则对任意常数 c,必有（ ） 2. 设一次试验成功的概率为 p,进行100次独立重复试验， 当 p = 时,成功次数的标准差的值最大,其最大 值为 思考题答案： 1. 2. X：100次独立试验中成功的次数. 练习题： 2.随机变量ξ服从二项分布b (n, p),则有( ) 1. 已知 则 =( ) (1) 9； (2) 6； (3) 30； (4) 36 3.设随机变量ξ 服从参数为λ 的泊松分布,则 =（ ） 4. 设随机变量X 的密度函数 ， 则 ( ) (1) 1 (2) 6 (3) 4 (4) 9 5. 设两个相互独立的随机变量 X与Y 的方差分别为 4和 2,则随机变量3X - 2Y 的方差是( ) (1) 8 (2) 16 (3) 28 (4) 44 6. 若随机变量X 的方差D(X)存在，则 (2) 1 ( ) 7. 已知离散型随机变量X 的分布函数为