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数学分析课后习题答案20.2
1. 计算第二型曲线积分:
(1) ∫xdy −ydx ,其中L 为本节例2 中的三种情况;
L
(2) ∫(2a −y )dx +dy ,其中L 为摆线x a(t −sin t), y a(1−cos t)(0 ≤t ≤2π) 沿t 增加
L
方向的一段;
−xdx +ydy 2 2 2
(3) ∫ 2 2 ,其中L 为圆周x +y a ,依逆时针方向;
L x +y
(4) ,其中L 为y sin x (0 ≤x ≤π) 与 轴所围的闭曲线,依顺时针方向;
∫ydx +sin xdy x
L
(5) ∫xdx +ydy +zdz ,其中L:为(1,1,1) 到(2,3,4) 的直线段.
L
解 (1)若积分沿抛物线OB : y 2x 2 ,则dy 4xds .从而
1 2 2 1 2 2
∫ xdy −ydx ∫(4x −2x )dx 2∫x dx .
OB 0 0 3
若积分沿直线OB : y 2x , 则dy 2dx. 从而
1
(2 2 ) 0.
∫ xdy −ydx ∫ x − x dx
OB 0
若积分沿折线OAB, OA : y 0(0 ≤x ≤1), AB : x 1(0 ≤y ≤2) ,则
1 2
− − + − 0 + 2.
xdy ydx xdy ydx xdy ydx dx dy
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
L OA AB 0 0
(2)因dx a(1−cos t)dt , dy a sin tdt, 从而
(2 − ) +
∫ a y dx dy
L
2π
[ − + ⋅ − + ]
(2 cos ) (1 cos ) sin
∫ a a a t a t a t dt
0
2π
2 2
( sin + sin )
∫ a t a t dt
0
2 2π 1−cos 2t 2π
a ∫ dt −a cos t
0 2 0
2
a
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