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徐树芳-数值线性代数_答案完全版
数值线性代数习题解答
习题1
1.求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L 的逆矩阵为T
我们可以使用待定法,求出矩阵T 的各列向量。为此我们将T 按列分
块如下:
注意到
我们只需运用算法1·1·1,逐一求解方程
便可求得
[注意] 考虑到内存空间的节省,我们可以置结果矩阵T 的初始状态为
单位矩阵。这样,我们便得到如下具体的算法:
算法 (求解下三角矩阵L 的逆矩阵T,前代法)
2.设 为两个上三角矩阵,而且线性方程组
是非奇异的,试给出一种运算量为 的算法,求解该
方程组。
[解] 因 ,故为求解线性方程组
,可先求得上三角矩阵T 的逆矩阵 ,依照上题的思想我
们很容易得到计算 的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤:
(1)计算上三角矩阵T 的逆矩阵 ,算法如下:
算法 1 (求解上三角矩阵的逆矩阵,回代法。该算法的的运算量为 )
1
(2 )计算上三角矩阵 。运算量大约为 .
(3 )用回代法求解方程组: .运算量为 ;
(4 )用回代法求解方程组: 运算量为 。
算法总运算量大约为:
3.证明:如果 是一个Gauss 变换,则 也
是一个Gauss 变换。
[解] 按Gauss 变换矩阵的定义,易知矩阵 是Gauss 变换。下
面我们只需证明它是Gauss 变换 的逆矩阵。事实上
注意到 ,则显然有 从而有
4.确定一个Gauss 变换L,使
[解] 比较比较向量 和 可以发现Gauss 变换L 应具有
功能:使向量 的第二行加上第一行的2 倍;使向量 的第三
行加上第一行的2 倍。于是Gauss 变换如下
5.证明:如果 有三角分解,并且是非奇异的,那么定理1·1·2
中的L 和U 都是唯一的。
2
[证明] 设 ,其中 都是单位下三角阵,
都是上三角阵。因为A 非奇异的,于是
注意到,单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵,两个单位下三角阵的
乘积仍是单位下三角阵;上三角阵的逆仍是上三角阵,两个上三角阵的乘积
仍是上三角阵。因此,上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等,
故此,它们都必是单位矩阵。即 ,
从而
即A 的LU 分解是唯一的。
6.设 的定义如下
证明A 有满足 的三角分解。
[证明] 令 是单位下三角阵, 是上三角
阵。定义如下
容易验证:
7.设A 对称且 ,并假定经过一步Gauss 消去之后,A 具有如
下形式
证明 仍是对称阵。
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