6概率统计第六讲修.ppt

第六讲 极限定理与抽样分布 随机变量序列的两种收敛性 大数定律LNL 中心极限定理CLT 总体与样本 经验分布函数与统计量 正态总体的抽样分布 一. 随机变量序列的两种收敛性 二. 大数定律LNL 三. 中心极限定理 大数定律与中心极限定理的关系 四、总体与样本 五、经验分布函数与统计量 1. ?2-分布 3. F - 分布　 * * [I] 内容提要 [II] 例题精讲 1.依概率收敛 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若对任意?0, 有 则称{Xn}依概率收敛于X. 可记为 2. 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点，有 则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为 1. 定义 设{Xn}为独立r.v.序列，若EXk?，DXk?C， C为正数, k=1, 2, …, (称{Xn}为方差一致有界), 则{Xn}服从大数定律. 即 2. 几个常用的大数定律 (1) 切比雪夫大数定律 推论1 若{Xn}为独立同分布随机变量序列, 且EXk=? ?, DXk= ?2?， k=1, 2, … 则{Xn}服从大数定律。 推论2 若{Xn}为独立随机变量序列, 满足马尔可夫条件： 则{Xn}服从大数定律。 (2) 伯努里大数定律 设{Xn}为独立随机变量序列, 且Xk~b(1, pk), 0 pk 1, k=1, 2, … 则{Xn}服从大数定律。(频率的稳定性) (3) 辛钦大数定律 若{Xn}为独立同分布随机变量序列, 且EXk=? ?, k=1, 2, … 则{Xn}服从大数定律。 大数定律说的是：对于随机变量序列{Xn}，只要它 满足一定的条件，即有 大数定律可以用来说明频率的稳定性。 1. 定义 设{Xn}为随机变量序列，对于 2. 两个常用的中心极限定理 (1) 独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=??， DXk= ?2 ?，k=1, 2, …, 则{Xn}满足中心极限定理。 (2) 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) 设随机变量?n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p (0p1)的二项分布，则 对于独立同分布r.v.序列{Xn}，大数定律给出了前n项 算术平均值所遵循的规律; 而中心极限定理则在n充分大时, 给出了{Xn}前n项之和落在某区间(a, b]的近似概率，事实上 1、总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项 数量指标，可记为X、Y、Z、?、?、?等，它是随机变量。 2、个体：组成总体的单元。通常也指与总体对应的 某项数量指标，可用X1，X2， … 等表示，它们也是随机变量。 3、样本：来自总体的部分个体X1， … ，Xn 。n称为样本容量。若是按随机抽样原则得到的，则称其是“简单随机样本”或简称为“随机样本”或“样本”。 按随机抽样原则得到的样本满足以下两个条件： （1）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； （2）同分布性： X1， … ，Xn与总体同分布。 来自总体X的随机样本X1， … ，Xn可记为 其中f (x)是X的概率函数。 样本观测值：对样本X1， … ，Xn进行观测，即 可得一组观测值x1， … ，xn X1， … ， 或X1， … ， 1、构造 将样本观测值： x1，… ，xn从小到大排列得 为总体X的一个经验分布函数。 其中N(A)表示A中元素个数。 2、经验分布函数的性质 （1）经验分布函数是分布函数； （2）K.Glivenko(格涅汶科)证明： 其中F(x)=P{X ? x}为总体X的分布函数。 3. 统计量 样本X1， … ，Xn的函数g(X1， … ，Xn)称为是总体X的 一个统计量，若g(X1， … ，Xn)与任何未知参数无关。 g(x1， … ，xn)是 g(X1， … ，Xn)的观测值. 4. 几个常用的统计量 (4) 极大、极小统计量 极大统计量：X(n)=max{X1， … ，Xn}， 其观测值： x(n)=max{x1, … ，xn} 极小统计量：X(1)=min{X1， … ，Xn}， 其观测值： x(1)=min{x1， … ，xn} 六. 统计中的三个重要分布 统计量的分布称为抽样分布。数理统计中主要研究 如下四个分布： U—分布(即N(0, 1))、?2—分布、t