7-4概率统计经典讲义.ppt

前面，我们讨论了参数的点估计问题. 它是用样本算得的一个值去估计总体中的未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大，区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 . §4 区间估计 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条. 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数. 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如，通常可取置信水平 =0.95或0.9等. 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我 小的区间 ，使 们求出一个尽可能 置信水平为 的置信区间，其中 为两个统计量. 称区间 为 的 寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手. 称 为 与 之间的误差限 . 我们选取未知参数的某个估计量 ，根据置信水平 ，可以找到一个正数 ，使得　 知道了 的概率分布，确定误差限并不难. 下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法. 由不等式 可以解出 ： 这个不等式就是我们所求的置信区间. 一、 置信区间的定义 设 是总体X分布函数F(x; θ) 中的一个未知参数，对给定的 满足 若由样本X1,X2,…Xn所确定的两个统计量 则称随机区间 是 的置信水平为 的置信区间. 分别称为置信下限和置信上限. ~N(0, 1) 选 的点估计为 求参数 的置信度为 的置信区间. 例1 设X1,…Xn是取自 的样本， 已知, 二、置信区间的求法举例 寻找未知参数的 一个良好估计. 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率. 对给定的置信水平： 查正态分布表得： 对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平. 使 从中解得 * *