13第九章集合的基数.ppt

第九章 集合的基数 引 言 第一节 集合的等势与优势 第二节 集合的基数 第九章 总结 作业：37（2，3），38，39 * -2/1 [5] -1/1 [4] -3/1 [18] 2/1 [10] 3/1 [11] 0/1 [0] 1/1 [1] -2/2 -1/2 [3] -3/2 [17] 2/2 3/2 [12] 0/2 1/2 [2] -2/3 [6] -1/3 [7] -3/3 2/3 [9] 3/3 0/3 1/3 [8] -2/4 -1/4 [15] -3/4 [16] 2/4 3/4 [13] 0/4 1/4 [14] … … … … … … … … PLAY 主要内容 集合的等势及其性质 重要的等势或不等势的结果 集合的优势及其性质 自然数与自然数集合 集合的基数 可数集 一、集合的等势1. 等势定义 定义.8 设A, B是集合, 如果存在着从A到B的双射函数, 就称A和B是等势的, 记作A≈B. 如果A不与B等势, 则记作A?B.集合等势的例.例Z≈N. 则f是Z到N的双射函数. 从而证明了Z≈N. （2） N×N≈N. N×N中所有的元素排成有序图形双射函数 （3） N≈Q. 为建立N到Q的双射函数, 先把所有形式为p/q (p,q为整数且q0) 的数排成一张表.在计数中. 表中数p/q上方的方括号内标明了这个有理数所对应的计数. 双射函数f：N→Q, 其中f(n)是[n]下方的有理数. 从而证明了N≈Q.（4）(0,1)≈R. 其中(0,1)={x| x∈R∧0x1}. 令 （5）[0,1]≈(0,1). 其中(0,1)[0,1]分别为实数开区间和闭区间. 双射函数 f : [0,1]((0,1) （6）对任何a, bR, ab, [0,1]≈[a,b]. 双射函数f：[0,1]→[a,b], f(x)=(b(a)x+a类似可以证明, 对任何a, bR, ab, 有(0,1)≈(a,b). 3．等势的性质 定理9.1 设A，B，C是任意集合， （1）A≈A.（2）若A≈B，则B≈A.（3）若A≈B，B≈C，则A≈C.证明 二、重要的等势或不等势的结果 1．等势结果 N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N 任何实数区间都与实数集合R等势 P(A) ≈{0,1}A (例8.10) 三．优势 定义9.2设A, B是集合, 如果存在从A到B的单射函数, 就称B优势于A, 记作A?(B. 如果B不是优势于A, 则记作A?(B.设A, B是集合, 若A?(B且A(B, 则称B真优势于A, 记作A?(B. 如果B不是真优势于A, 则记作A?(B.N?(N, N?(R, A?(P(A), R?(N N?(R, A?(P(A), 但N?(N.总结： 重要的等势或优势的结果. N ≈ Z ≈ Q ≈ N×NR ≈ [a,b] ≈ (c,d) ≈ {0,1}N ≈ P(N){0,1}A ≈ P(A)N?(RA?(P(A) 其中[a,b], (c,d)代表任意的实数闭区间和开区间.  一．与 1. 定义 定义 设a为集合, 称a{a}为a的后继, 记作a+, 即 a+=a{a}. 为了定义“有穷集”，定义如下自然数： 0=( 1=0+=(+ = {(}={0} 2=1+= {(}+ = {(}({{(}}={(,{(}}={0,1} 3=2+={(,{(}}+= {(,{(},{(,{(}}}= {0,1,2} … n={0, 1, …, n(1} … 定义 设A为集合,如果满足下面的两个条件： （1）(∈A （2）a(a∈A→a+∈A) 则称A是归纳集. 例如下面的集合{(,(+,(++,(+++,…}{(,(+,(++,(+++,…,a,a+,a++,a+++,…} 都是归纳集. 定义（1）一个自然数n是属于每一个归纳集的集合.2）自然数集N是所有归纳集的交集.定义. 鉴于自然数都是集合, 有关集合的运算对自然数都是适用的, 例如：2∪5，3∩4等 2．自然数的性质  （1）对任何自然数n有n ≈ n. （2）对任何自然数n, m, 若mn, 则mn. （3）对任何自然数n和m, 以下三个式子：m∈n, m ≈ n, n∈m 必成立其一且仅成立其一. 这个性质称为自然数的三歧性.对任何自然数m和n, m = n ( m ≈ n m n ( m∈n 二、有穷集和无穷集.定义一个集合是有穷的当且仅当它与某个自然数等势；如果一个集合不是有穷的, 就称作无穷集.{a,b,c}是有穷集, 因为3={0,1