(1214和1217)正弦定理.ppt

实际问题 例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在 同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 ，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？ 想一想 实例讲解 A A1 B C D C1 D1 分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 解： 答：烟囱的高为 29.9m. A B C D E A B C D E B E D C B E D C A 解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象 出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量， 从而得到实际问题的解。 在这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际 问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型， 然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。 本节小结: * * 正弦定理 A B C3 C2 C1 C BC的长度与角A的大小有关吗? 三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系? 在Rt△ABC中,各角与其对边的关系: 不难得到: C B A a b c 在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? A c b a C B 正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等. 即 (1) 若直角三角形,已证得结论成立. 所以AD=csinB=bsinC, 即 同理可得 D A c b C B 图1 过点A作AD⊥BC于D, 此时有　 证法1: (2)若三角形是锐角三角形, 如图1, 由(1)(2)(3)知，结论成立． 且 仿(2)可得 D (3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有 交BC延长线于D, 过点A作AD⊥BC， C A c b B 图2 ＝ ＝ （2R为△ABC外接圆直径） ＝ 2R 思考 求证: 证明： O C/ c b a C B A 作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/, A c b C B D a 向量法 证法2: 利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明. 证明： ∵ B A C D a b c 而 ∴ 同理 ∴ ha 证法3: 剖析定理、加深理解 正弦定理可以解决三角形中哪类问题： ① 已知两角和一边，求其他角和边. ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角. 定理的应用 例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到0.01）. 解： 且 ∵ ∴ b = 19.32 = 已知两角和任意边， 求其他两边和一角 ∵ ∴ a = 14.14 = B A C b c a 在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 求a ， b. 在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12 求a ， c. [a= ,c= ] [ ] 练习 例 2 已知a=16， b= ， A=30° . 求角B，C和边c 已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝60°, 或Ｂ＝120° 当 时 Ｂ＝60° C=90° C=30° 当Ｂ＝120°时 B 16 300 A B C 16 3 16 变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c 300 A B C 26 30 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30 由于154.30 +3001800 故B只有一解　（如图） C=124.30, 变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c 300 A B C 26 30 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝25.70, C=124.30, ∵a b 　∴ A B , 三角形中大边对大角 已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°. [B=90°，C=60°，c= ] (2) b=40，c=20，C=45°. 练习 注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解 无解 课堂小结 （1）三角形常用公式： （2）正弦定理应用范围： ① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况) 正弦定理： ＝ 2R 已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,