07.5-平面与直线.ppt

yejiao 3. 平面的一般方程 5. 两平面的夹角，平面的位置关系 (2)空间直线的对称式方程与(3)参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 7.4-平面与直线的方程1.平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 设平面上的任一点为 必有 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形． 其中法向量 已知点 解 2. 平面的三点式方程(了解，不用记公式，有另外的方法) 讨论过不共线的三点点 的平面的方程 动点 在平面内 3向量共面 也可以先计算法向量，再按点法式计算 解 所求平面方程为 化简得 取 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 反过来 也一定表示某个平面 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 4. 平面的截距式方程 定义 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 法向量之间的夹角 平面的夹角 或者 但是总有 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： // 例5 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，夹角 两平面平行 两平面平行但不重合． 两平面平行 两平面重合. 6. 点到平面的距离 点到平面距离公式 两平行平面间的距离注意需要先把方程化成适当的形式 实际计算中，也可以在其中一个平面上任选一点，计算它到另一平面的距离。 7.4.2 直线一、直线方程 (1)空间直线的一般方程 定义 空间直线可看成两平面的交线． 空间直线的一般方程 过直线 L 的平面束(了解) 不同时为0 除去 除去 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量． // 直线的点向式/对称式/标准式方程 令 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 直线的参数方程 注意某分母为0的意义 (4)空间直线的两点式方程 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 解 在直线上任取一点 取 解得 点坐标 方程形式转化要素：点 + 方向向量 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 参数方程 解 所以交点为 取 所求直线方程 定义 直线 直线 两直线的方向向量的夹角（取锐角） 两直线的夹角公式 两直线的位置关系： // 直线 直线 例如， * * * * 例4求直线和平面的交点和夹角。 解：直线方程变形为代入平面方程，解得，从而交点坐标。 直线方向向量，平面法向量， 夹角为，则，所以 例1求过点，且垂直于向量的平面方程. 例2求过三点、和的平面方程. 例2求过三点、和的平面方程. 例3 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程. 由平面过点知 例4 设平面与三轴分别交于、、（其中，，），求此平面方程. 轴上截距 轴上截距 轴上截距 设直线由 两个不同的点，决定，设直线上任意一点为，则 其中三个分母做成的向量也就是直线的方向向量 解方程得，，参数化，令得参数方程对称式 例2 一直线过点，且和 轴垂直相 交，求其方程. 因为直线和轴垂直相交, 例3 求过点且与两平面和的交线平行的直线方程. 例4 求过点且与直线垂直相交的直线方程. 例5 设直线，平面，求直线与平面的夹角. 在直线方程中，、、各怎样取值时，直线与坐标面、都平行. 例6 一平面平行于且与此平面的距离为，求该平面的方程。 解：设该平面方程为（为什么可以这样设？） 则距离为 所求平面为或者