1-3-2_线段的垂直平分线(2)三角形的垂心.ppt

九年级数学（上册）第一章 证明(二) 3.线段的垂直平分线（2） 三角形的垂心 线段的垂直平分线的作法 线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理 亲历知识的发生和发展 亲历知识的发生和发展 咋证三条直线交于一点 几何的三种语言 挑战自我 梦想成真 回味无穷 定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知), ∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等). 知识的升华 习题1.7 习题1.7 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则. * * 阳泉市义井中学 高铁牛 驶向胜利的彼岸 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 用尺规作线段的垂直平分线. 1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D. A B C D 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点. 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. A C B P M N 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么? 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线. 结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 老师期望: 你能写出规范的证明过程. 你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗? 观察这三条垂直平分线,你发现了什么? 做一做 1 驶向胜利的彼岸 利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线. 结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 老师期望: 你能写出规范的证明过程. 你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗? 做一做 1 再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?与同伴交流. 驶向胜利的彼岸 思考分析 命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB (或AB的中点,). 同理,PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AB的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点. 想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也可以得征? 基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. A B C P 驶向胜利的彼岸 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知), ∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等). 老师提示: 这是一个证明三条直线交于一点的证明根据. 做一做 1 A B C P a b c 驶向胜利的彼岸 已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗? 老师期望: 你能亲自探索出结果并能用尺规作出图形. 议一议 如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗? 已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 做一做P29 2 1.已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形. 已知:线段a,h(如图). a b 求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.. 老师期望: 你能亲自写出作法. 作法: 驶向胜利的彼岸 小结 拓展 A B C P a b c 尺规作图的解题格式(六步骤): 已知: 求作: 分析: 作法: 证明: 讨论: 驶向胜利的彼岸 独立 作业 P9习题1.7 1,2题. 祝你成功！