1-4复变函数的极限和连续.ppt

§1-4 复变函数的极限和连续 一、复变函数的极限 二、复变函数的连续性 定理1 定理2 设 ， ， ， ，则有 定理3 设 ，则有 1） 2） 3）当 时， 二、函数的连续性 与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证 得以下定理 定理5 函数 在简单曲线 （包括两端点）或 者有界闭区域 上连续，则 ⑴ 在 或者 为连续；　　 ⑵ 在它上能取到最大值与最小值；　　　　　 ⑶ 在它上一致连续，即对任意的 ,存 在 ，使当 或者 且 时，有　　　　　  定义：如果对于任给定常数 ，存在 ，使当 ， 时，有　　　　　　　　　　　　 则称当z在E 中趋于 时 趋于无穷大 ，记作 定义：如果对于任给定常数ε0 ，存在 ，使当 且 时，有　 则称当z 在E 中趋于无穷大 时 趋于 ，记作 函数在某点处连续性的判别 函数极限的求法和极限不存在的判别法 本章主要内容 L. Euler(欧拉)简介 A. de Moivre 棣莫佛简介 * 注意: 一、 复变函数的极限 复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论 证明 举例说明如下： (1) 多项式 (2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的. 例 2 证 例 3 证 基本解法： (1)把函数f(z)化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (2)利用教材24页定理2判别u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处是否连续 若都连续，则f(z)在z0连续 若不连续，则 f(z0)无意义，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一个不存在 不存在或存在但 只需验证 在某方向上 或存在某方向 时，有 或 证明argz在原点和负实轴不连续 由于 是分段定义的二元函数 当y0或y0时，显然是连续的。只要考虑y=0上的点函数argz是否连续即可。 (1)由于当x00时有 即当 且 时，函数的极限值等于在点(x0,0)处的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此argz在正实轴连续。 (2) argz在z=0点无意义，因此不连续 所以分段定义的二元函数argz在y=0且x0这些点处不连续 (3) 在y＝0，x0的半直线上 可是 综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处连续。 f(z)=|z|的连续性？ 是复变实值函数，是x,y的二元连续函数，因此在整个复平面上连续。 P26,4 证明函数f(z)=ln|z|+iarg(z)在原点和负实轴上不连续性。 方法1： 当容易看出f(z)在z0点连续时，可用函数在一点处连续的定义来求极限。即 方法2： 当不能判断f(z)在z0点是否连续时， 首先，把f(z)写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。 然后，利用教材24页定理2，分别求两个函数u(x,y)和v(x,y)的极限，即 例 因为|z|在整个复平面上连续 P27,6 复数 平面表示法 定义表示法 三角表示法 曲线与区域 球面表示法 复数表示法 指数表示法 复数的运算 共轭运算 代数运算 乘幂与方根 向量表示法 复数运算和各种表示法 复数方程表示曲线以及不等式表示区域 本章注意两点 第一章 完 1707.4.15生于瑞士，巴塞尔 1783.9.18卒于俄罗斯，彼得堡 Euler是18世纪的数学巨星；是那个时代的巨人，科学界的代表人物。历史上几乎可与Archimedes、Newton、Gauss齐名。 他在微积分、几何、数论、变分学等领域有巨大贡献。可以说 Newton、Leibniz发明了微积分，而Euler则是数学大厦的主要建筑师。 5. 26生于法国 1754. 11. 27卒于英国 在概率论、复数理论等领域做了一些出色的工作。 解决斐波那契数列的通项问题。L.Fibonacci(1170-1250)