1.2矩形的性质与判定.ppt

如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O. （1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样 的三角形？ （2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么 □ABCD是矩形吗？ 例2 图2-48 举 例 （2） ∵ △OBC是等腰三角形，其中OB = OC， 解 （1） ∵□ABCD是矩形， ∴ AC与DB相等且互相平分. ∴ △OBC是等腰三角形. ∴ ∴ AC = 2OC = 2OB = BD. ∴ □ABCD是矩形. 图2-48 例3 如图：在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O,EF⊥AC, O 是垂足，EF分别交AB、CD于点E、F，且BE=OE=0.5AE 求证: ABCD是矩形 1. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D， 求证：四边形ABCD是矩形. 练习 证明：因为四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D ， 四边形的内角和为360°， 所以∠A=∠B=∠C=∠D= 90° ， 所以四边形ABCD是矩形. (三个角是直角的四边形是矩形.) 2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB = 60°，AB= 2，AC= 4，求□ABCD的面积. 解： ∵ OA= =2，AB= 2， ∴ △OAB是等腰三角形. ∴ △OAB是等边三角形. 又∠AOB = 60°， ∴ OA=OB=2， ∴ AC=BD=4. ∴ □ABCD是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形.) ∴ 作OE⊥AD于点E. ∴ ∴ E 在Rt △OAE中，AO=2，OE= =1， 中考 试题 例 在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 . AC=BD 或 ∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD之中有任一个角为直角 解析 依据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩 形 ——1.2.1 矩形的性质 观察 在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？ 图2-41 这些四边形的四个角都是直角. 在一个平行四边形中， 只要有一个角是直角，那 么其他三个角都是直角. 我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形. 平行四边形 矩形 有一个角是直角 结论 矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分. 可以知道： 结论 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 由于矩形是平行四边形，因此 如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角 线AC与DB相等吗？ 动脑筋 图2-42 图2-42 如图，四边形ABCD是矩形， 于是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90° ， BC=CB. 因此 △CBA≌△BCD. (SAS) 从而 AC=BD. 即矩形的对角线相等. 图2-42 结论 矩形的对角线相等. 由此得到矩形的性质： 如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相交于点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求BC的长. 举 例 例1 图2-43 解 ∵ □ABCD是矩形， 从而 ∴ △AOB是等边三角形. ∴ AB=OA=2cm. 又∠AOB = 60°， ∵ ∠ABC = 90°， ∴ 在Rt△ABC中， 图2-43 解 ∵ □ABCD是矩形， 从而 在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？ 图2-44 做一做 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O. B C D A O F E 过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ，AD相交于点E，F. 由于