1.3,1.4条件概率,全概率公式.ppt

1.4 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 3. 乘法定理 贝叶斯资料 三、小结 备份题 一、条件概率 二、全概率公式与贝叶斯公式 三、小结 1. 定义1.8 ? A B AB 一、条件概率 2. 性质 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 解: 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 例2 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率． 解 设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 方法2： 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 例3 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表 示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有 解 解 　　 一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率． 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则 （2） （3） （1） 甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。 解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签” 则 例4 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字, 三个阄内不写字 , 五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相 同? 解 则有 抓阄是否与次序有关? 依此类推 故抓阄与次序无关. 1. 样本空间的划分 二、全概率公式与贝叶斯公式 2. 全概率公式 全概率公式 图示 证明 化整为零 各个击破 说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. 例1 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率． 解 设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式： ＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05 ＝0.4825 例2 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 设事件 A 为“任取一件为次品”, 解 由全概率公式得 30% 20% 50% 2% 1% 1% 称此为贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式 贝叶斯资料 证明 [证毕] 例1 已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。 解 设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。 则 C表示抽到的人有色盲症。 由Bayes公式有 例2 解 (1) 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 例3 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率． 解 设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，Ｂ表示产品为次品． 显然，Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 构成完备事件组．依题意，有 Ｐ(Ａ1)＝ 25% , Ｐ(Ａ2)= 35% , Ｐ(Ａ3)＝ 40%, Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝ 5% , Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4% , Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝ 2% Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝ 解 例4 由贝叶斯公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应