1.4 角平分线(1)性质定理与逆定理.ppt

定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. * * 北师大课标九上·§1.1 (1) 1.4 角平分线（1） 北师大课标九上·§1.4 (1) 你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE. 而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证. 老师期望:你能写出规范的证明过程. 分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗? O C B 1 A 2 P D E 回顾与思考 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). O C B 1 A 2 P D E 引入新知 你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗? 逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗?如果是.请你证明它. 已知:如图,PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠1=∠2. 老师期望:你能写出规范的证明过程. O C B 1 A 2 P D E 引入新知 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 如图, ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). 老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么? O B A C 1 2 P D E 动手练一练 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法: 用尺规作角的平分线. 1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C. 3.作射线OC. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握. A B O C 则射线OC就是∠AOB的平分线. D E 做一做 如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么关系? 老师期望: 你能说出结论并能证明它. E D A B C F 课内练习 2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000). A区 课内练习 O C B 1 A 2 P D E ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). 用尺规作角的平分线. 邻补角的角平分线之间的关系. 小结与拓展