1.4.1角平分线(1).ppt

尺规作图角平分线的作法 知识的升华 * * 九年级上册第一章 1.4 角平分线（１） 驶向成功的彼岸 角平分线的性质是什么 用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 回顾 思考 ？ 角平分线的这条性质是怎样得到的呢？ 几何的三种语言 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 开启 智慧 如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). O C B 1 A 2 P D E 证明:因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， 所以　∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）． 在△PDO和△PEO中，因为 ∠DOP＝∠EOP（已知）， ∠PDO＝∠PEO（已证）， PO＝PO（公共边）， 所以　△PDO≌△PEO（A.A.S）． 因此　PD＝PE（全等三角形的对应边相等）． O C B 1 A 2 P D E 更多资料请访问 四 问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， 做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识? 思考 角平分线的性质， 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径. A B C BD是∠B 的平分线 ， DE⊥AB，垂足为E， E DE与DC 相等吗？ D 答： DE=BC. ∵ BD是∠ABC的平分线 （D在∠ABC的平分线上） 又∵ DE⊥BA，垂足为E， ∴ DE=BC. 为什么？ DC⊥BC，垂足为E， 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 思考分析 命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴△ABC的三条角平分线相交一点P. 基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容. A B C P M N D E F ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). 做一做 1 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法: 用尺规作角的平分线. 1.在OAT和oB上截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.. 3.作射线OC. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握. A B O C 则射线OC就是∠AOB的平分线. D E 1.(2004·四川)如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P分别在边OA、OB上.如果要得到PO=OP ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 . ① ∠ OCP= ∠OCP ;② ∠ OPC= ∠OP C ; ③PC=PC ‘ ;④PP’ ⊥OC. 课时训练 ①或②或④ 随 练习 1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (___________________________________________) A C D E B 1 2 DC=DE 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2、判断题（ ） ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = DC ， ( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. × 更多资料请访问 2.(2004·河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 ( ) A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋 B 3.(2004·广州)如