1.4.2角的平分线的性质逆定理.ppt

角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2、角的平分线的性质: O C B 1 A 2 P D E PD⊥OA，PE⊥OB ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ PD＝PE 用数学语言表述： 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， 　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中 　 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 　∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE 如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, A B C P M N D E F ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F 因为角平分线上的点到角的 两边的距离相等，所以只要作 △ABC 任意两角（例如∠A与∠B） 的平分线，其交点P 即为所求作的 点. 点P也在∠C 的平分线上，如图1-32. 图1-32 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. （这个交点叫做三角形的内心） 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上　　　 基本应用 填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (___________________________________________) (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴__________ (_ ______________________________________________) A C D E B 1 2 ∠1＝∠2 　　　　　　　　　 DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 证明： 在△ABC中， ∵ ∠1=∠2， ∴ BA = BC. 又 BA⊥AD， BC⊥CD， ∴ 点B在∠ADC的平分线上. 例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B在∠ADC的平分线上； （2）求证：BD是∠ABC的平分线. 证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD. ∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线. 如图1-30，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取 一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系. 例2 ∴ PE=PF. 在△EBP中，BE+PEPB， ∴ BE+PFPB. ∵ AP是∠DAC的平分线， 又PE⊥DB， PF⊥AC， 解 图1-30 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。 A B C E F D 证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴△BED≌△CFD(HL)． ∴DE＝DF(全等三角形的对应边相等)． ∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F， ∴AD是△ABC的角平分线． 小结： 1.定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 2.逆定理 ： 在一个角的内部,且到角的两边距离