1.4角平分线的性质[1].ppt

角平分线的性质 解 作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所 求作的点P.（提示：用尺规作图） * * * 本课内容 本节内容 1.4 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角. 探究 如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P， 作PD⊥OA ， PE⊥OB ， 垂足分别为点D， E， 试问PD与PE相等吗？ 图1-26 你能证明吗？ 将∠AOB 沿OC 对折，我发现PD与PE 重合， 即PD与PE相等. 图1-26 ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中， ∵ ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO. ∴ PD = PE. 我们来证明这个结论. 图1-26 图1-26 结论 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 由此得到角平分线的性质定理： 动脑筋 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？ 如图1-27，点P 在∠AOB 的内部， 作PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D，E. 若PD= PE， 那么点P在∠AOB的平分线上吗？ 图1-27 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO. ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 如图1-27，过点O，P作射线OC. ∴ ∠AOC =∠BOC. ∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 图1-27 结论 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 由此得到角平分线的性质定理的逆定理： 举 例 例1 如图1-28，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B在∠ADC的平分线上； （2）求证：BD是∠ABC的平分线. 图1-28 证明： 在△ABC中， ∵ ∠1=∠2， ∴ BA = BC. 又 BA⊥AD， BC⊥CD， ∴ 点B在∠ADC的平分线上. 图1-28 （1）求证：点B在∠ADC的平分线上； 图1-28 证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD. ∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线. （2）求证：BD是∠ABC的平分线. 练习 如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到∠AOB两边 的距离相等. P 2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，BD=CD. 求证：AB=AC. 证明 ∵ 点D在∠BAC的平分线上， DE⊥AB，DF⊥AC ， ∴ DE = DF. ∴ AB = AC. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∵ BD = CD， DE = DF， ∴ Rt△BED≌Rt△CFD. ∴ ∠B =∠C. 动脑筋 如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？ 图1-29 图1-29 ∵ ME⊥CD， MN⊥CA， 同理可得AM是∠CAB的平分线. 可以添加条件MN =ME （或MN =MF）. ∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 图1-29 如图1-30，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取 一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系. 例2 ∴ PE=PF. 在△EBP中，BE+PEPB， ∴ BE+PFPB. ∵ AP是∠DAC的平分线， 又PE⊥DB， PF⊥AC， 解 图1-30 举 例 如图1-31，你能在△ABC 中找到一点P，使其 到三边的距离相等吗？ 动脑筋 图1-31 因为角平分线上的点到角的 两边的距离相等，所以只要作 △ABC 任意两角（例如∠A与∠B） 的平分线，其交点P 即为所求作的 点. 点P也在∠C 的平分线上，如图1-32. 图1-32 练习 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD. * *