10-6 平面曲线积分与路线无关的条件.ppt

曲线积分与曲面积分 一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 四、小结 * G y x o B A 如果在区域G内有 定理2 两条件缺一不可 有关定理的说明： 解: 故原式 解 三、二元函数的全微分求积 定理3 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 练 习 题 * * 事实上，从前面的讨论知道，如果曲线积分与路径无关，那么 而 故 , 这里是一条有向闭曲线． 因此，在区域内由曲线积分与路径无关可推得在内沿闭曲线的曲线积分为零. 反过来，由在内沿闭曲线的曲线积分为零也可推得在区域内曲线积分与路径无关 例 计算 . 其中L为由点到点的曲线弧. ， 原积分与路径无关 例（课本例5） 验证：在整个面内， 是某一函数的全微分，并求出一个这样的函数. 证明：，， 则在整个面内恒成立， 因此，在整个面内， 是某一函数的全微分. 为了求得这个函数，取积分路径如所示,那么 例（课本例6）在整个面内, 是某一函数的全微分，并求出一个这样的函数. 证明：因为,， 所以在整个面内恒成立， 因此，在整个面内，是某一函数的全微分，即有 . 于是就有 ， （） . （） 由（）式得 ， （） 其中是以为自变量的一元函数，将（）式代入（）式，得 . （4） 比较（）式两边，得 ， 于是 （其中是任意常数）, 代入（6）式便得所求的函数为. 则称曲线积分在 内与路径无关, (1) 开区域是一个单连通域. (2) 函数在内具有一阶连续偏导数. 例1 计算 . 其中 L为由点到点的曲线弧. 例2 设曲线积分与路径无关, 其中具有连续的导数, 且, 计算. 由，知 . 故 设开区域 是一个单连通域, 函数在 内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在 内与路径无关 （或沿 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是 在 内恒成立. 设开区域是一个单连通域, 函数在内具有一阶连续偏导数, 则在内为某一函数的全微分的充要条件是等式 在内恒成立. ， 原积分与路径无关 故原式 积分与路径无关， 在单连通开区域上具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 否则与路径有关. 由 填空题: 设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有________________； 设为平面上的一个单连通域,函数在内有一阶连续偏导数,则在内与路径无关的充要条件是_______________在内处处成立； 设为由分段光滑的曲线所围成的闭区域,其面积为5,又及在上有一阶连续偏导数,且,,则___. 计算其中是由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性 . 利用曲线积分,求星形线所围成的图形的面积 . 四、证明曲线积分 在整个面 内与路径无关,并计算积分值 . 五、利用格林公式,计算下列曲线积分: 1、其中是在圆周 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧； 2、求曲线积分和 的差.其中 是过原点和,且其对称轴垂直于 轴的抛物线上的弧段, 是连接的线段 . 六、计算,其中为不经过原点的光滑闭曲 线 .(取逆时针方向) 七、验证在整 个平面内是某一函数的全微分,并求这 样一个. 八、试确定,使得是某个函数 的全微分,其中,并求 . 九、设在半平面内有力构成力 场,其中为常数, .证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关 . 一、1、； 2、； 3、10. 三、. 四、. 五、236. 六、1、； 2、-2. 七、1、当的不包含原点时,0； 2、当的包含原点,原点 一圈时,； 3、当的包含原点, 圈时,. 七、. 八、.