11角平分线的性质.ppt

例.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知） ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 已知：如图，△ABC的∠B的外角平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点F。 求证：点F在∠DAE的平分线上。 耐心地想一想 如图，EG，FG分别∠MEF的∠NFE的平分线，交点是G。PB，PC分别是∠MBC和∠NCB的平分线，交点是P，F，C在AN上，B，E在AM上，如果∠G=68°，求∠P的度数。 * 如图：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第 一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成 的三条折痕，你能得出什么结论？ A O B A O B C D E P 探究 可以看出，第一条折痕OC是∠AOB _________ 第二次形成了____条折痕，分别为__________, 它们是角平分线上的一点到∠AOB两边的_______ 这两个距离_______ 平分线 2 PD、PE 距离 相等 相等 如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗？ A B C D E 1 2 根据SSS, 可知两个三角形全等 ∴∠1=∠2 从上面的探究你能得出作一个角的角平分线的方法吗？ 做一做 1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？ 2。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜边，OA与OB为直角边） 观察两次折出的三条折痕，你能得出什么结论？ 第二次折出的两条折痕的长度相等。 A O B C 将∠AOB对折 A O B P A O B D P E 你能说明其中的道理吗？ AAS 从上面的实验中，你能得到什么结论？ 角的平分线上的点到角的两 边的距离相等 你能用三角形全等证明这个性质吗？ A O B C D E P 已知：OC是∠AOB 的平分线，P在OC上， PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，求证：PD=PE 分析：仔细观察图形，思考证明两条线断 相等的方法有哪些？ △PDO≌ △PEO吗？ O A B E D 思考： 如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么? C P PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M,交OB于N; （2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求。 你能说明其中的道理吗？ A M O B N C 做P108页的练习，并回答问题。 已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E 求证：PD=PE 定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP ∠PDO=∠PEO=90° ∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS) ∴PD=PE (全等三角形的对应边相等) A O B D P E C 1 2 该定理的题设和结论分别是什么？ 角平分线的性质定理 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 应用定理的书写格式： OP 是 的平分线 \ PD = PE （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。） ∵ 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 A O B D P E 如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个真命题吗？ 逆命题： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E， PD=PE。 求证：点P在∠AOB的平分线上。 证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中, ∠ODP=∠OEP=90° OP=OP, PD=PE Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL) 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 定理 2 定理 2的应用书写格式： OP 是 的平分线 PD= PE \ （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） ∵ 用途：判定一条射