13.1 轴对称课件.ppt

* 人教版八年级上册数学 学习目标： 1、掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明和应用。 2、经历用尺规作线段垂直平分线的过程，从而培养学生动手操作的能力。 3、培养步步有据的推理意识。 学习重难点： 段垂直平分线的性质定理及其逆定理的灵活运用。 A B P3 P2 P1 L 如左图，木条L与木条AB钉在一起，L垂直平分AB，P1、P2、P3……是L上的点，分别量一量点P1、P2、P3……到Ａ与B的距离，你有什么发现？ 猜想：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. A C B P M N 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. 证明：∵MN⊥AB， ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 在△APC与△BPC中 PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） AC=BC（已知） ∴△PCA≌△PCB(SAS) ； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 求证:PA=PB. 试一试 得出结论 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 符号表达: 线段垂直平分线的性质定理： ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 常用于证明线段相等 1.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=____ 4cm 2、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm; (2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______. 10 200 反过来，如果PA=PB，那麽点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 已知：PA=PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上 证明：作PC⊥AB,垂足为C ∴∠ACP=∠BCP=900 在Rt△ACP和Rt△BCP中 ∴AC=BC ∴点P在线段AB的垂直平分线上 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 得出结论 性质定理：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等（纯粹性）。 逆定理：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。（完备性）。 线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。 辨析： 如图：AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 答：直线AM是线段BC的垂直平分线 理由：∵AB=AC ∴点A在线段BC的垂直平分线上 同理可得：点M在线段BC的垂直平分线上 ∴直线AM是线段BC的垂直平分线 例 题 ： 基本作图： 作线段的垂直平分线。 已知：线段AB， 求作：线段AB的垂直平分线。 A B C D 作法： （2）作直线CD。 CD即为所求。 (1)分别以点A、B为圆心，以大于——AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点； 1 2 结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。 高 速 公 路 A B 在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么? 生活中的数学 L 求证： 三角形三边垂直平分线交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等。 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB（？）. 同理 PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P也在边AC的垂直平分线上，且PA=PB=PC 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：点P也在边AC的垂直平分线上，且PA=PB=PC; B A C M N M’ N’ P 1、有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。 A B C 提示：连接AB、BC、CA，作三角形任意两边的垂直平分线，其交点即为所求。 练 习 ： 如图，在Rt△ABC中，∠C=900，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。 A E D B C ∠B=360 练 习 ： 聚焦中考： 3、△ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF A B C D E F M 提示：