13.5.2线段垂直平分线.ppt

13.5.2线段垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 垂直平分线: 图形轴对称的性质: 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 A B M N C ? ? P M N ? C A B Q ? A B M N P . Q . C ? 证明: 直线MN⊥AB于C且AC=CB， 点P在MN上. 条件： A B P M N C 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 一、线段垂直平分线的性质: 结论： PA=PB 求证： 已知： ∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上 ∴PA=PB 一、线段垂直平分线的性质: 数学表达： ∵直线MN垂直平分AB，点P在MN上 ∴PA=PB A B P M N C 也可以说： ∵P是线段AB垂直平分线上的点， ∴PA=PB 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 还可以说： 依据是： 证明: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 证明: ∵MN?AB（已知） ∴?PCA=?PCB(垂直的定义) 在?PCA和?PCB中, AC=CB(已知), ?PCA=?PCB(已证) PC=PC(公共边) ∴ ?PCA ≌ ?PCB(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) A B C M N ? P A B C M N ? P 当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷? ?PCA与?PCB将不存在. PA与PB还相等吗? 相等! 此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB O A B P PA＞PB 如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ O A B P 如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ O A B P PA＜PB 如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ O A B P PA＝PB 如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ 如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ O A B P 答：当PA=PB时，射出的箭的方向与木棒垂直 二、线段垂直平分线的判定: 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 二、线段垂直平分线的判定: 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 证明: 题设: CA=CB 结论: 点C在AB的垂直平分线上 已知: 求证: 证明: 过C作CO⊥AB于O 则∠ AOC= ∠ BOC=90 ° 在 RtΔAOC和RtΔ BOC中， AC=BC OC=OC ∴ RtΔAOC ≌RtΔ BOC（HL） ∴OA=OB 又∵CO⊥AB于O ∴C在AB的垂直平分线上 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 一、线段垂直平分线的性质定理： PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 二、线段垂直平分线的判定性质: 三、关系：互逆 线段的垂直平分线可以看作是和线段两端点距离相等的所有点的集合。 四、 线段的垂直平分线的集合定义： A B C ? ? ? ? ? ? ? ? ? M N ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A B M N 已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。 ∵AC=AD ∴点A在CD的垂直平分线上（ ） 证明: 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 同理， ∵BC=BD ∴点B在CD的垂直平分线上 ∴AB垂直平分CD（两点确定一条直线） 如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。 结论