16.2线段的垂直平分线 (1).ppt

1、能够利用尺规法作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性。 2、经历探索，证明线段垂直平分线性质定理及其逆定理的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3、能够利用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论，理解三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。 什么叫线段的垂直平分线？线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 1、怎样作出线段的垂直平分线？ （1）折纸法 （2）定义法 （3）尺规作图法 作法：1、分别以点A、B为圆心，大于　AB长为半径画弧交于点E、F。 2、过点E、F作直线。 则直线EF就是线段AB的垂直平分线（图16-11） － １ ２ A B E F 图16-11 为什么以“大于　AB长”为半径？ － １ ２ ２、为什么这样作出的直线EF就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交AB于点O，请你根据三角形全等的判定定理给出证明 证明：连接AE、AF、BE、BF ∴AE＝BE＝AF＝BF（等圆或同圆的半径相等） 在△AEF与△ BEF中 　　∵　AE＝BE（已证） 　　　　AF＝BF（已证） 　　　　EF＝EF（公共边） 　　∴ △ AEF≌ △ BEF（SSS） 　　∴ ∠AEO＝ ∠ BEO（全等三角形对应角相等） 　在△ AEO与△ BEO中 　　∵ AE＝BE（已证） 　　　 ∠ AEO＝ ∠ BEO（已证） 　　　 EO＝EO（公共边） 　　∴ △ AEO≌ △ BEO（SAS） 　　∴ AO＝BO（全等三角形对应边相等） 　 　　∠ AOE＝ ∠ BOE（全等三角形对应角相等） 　　∵ ∠ AOE+ ∠ BOE＝180（邻补角的定义） 　　∴ ∠ AOE＝ ∠ BOE＝90（等式性质） 　　∴EF⊥AB（垂直定义） 　　∴EF是线段AB的垂直平分线（线段的垂直平分线定义） 性质定理 ：线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等 ０ ０ A B E F o 已知：如图16-12，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，P是MN上任意一点。 　求证：PA＝PB 　 证明：∵MN ⊥ AB（已知） 　　∴∠AOP＝∠BOP＝90（垂直定义） 　在△AOP与△ BOP中 　　∵　 AO＝BO（已知） 　　　　∠AOP＝∠BOP（已证） 　　　　PO＝PO（公共边） 　　∴ △ AOP≌ △ BOP（SAS） 　　∴ PA＝PB（全等三角形对应边相等） 　 ０ B A O P M N 图16-12 如何证明线段的垂直平分线性质定理的正确性？ 提示：要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需要在图形上任取一点作代表 ３、什么是互逆命题？你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题吗？请给出证明。 　已知：线段AB两端点A、B分别与P点所连的线段为AP、BP，且AP＝BP 　求证：点P在AB的垂直平分线上。 　证明：过点P 作PO⊥AB，垂足为点O 　　　∵PO ⊥ AB（已知） 　∴∠AOP＝∠BOP＝90（垂直的定义） 　∴△AOP、△BOP均为直角三角形 　在Ｒt△AOP与Ｒt△ BOP中 ∵　AP＝BP（已知） 　　　PO＝PO（公共边） 　∴　Ｒt△ AOP≌Ｒt△ BOP（HL） 　∴AO＝BO（全等三角形对应边相等） 　　即PO是线段AB的垂直平分线（线段垂直平分线定义） 　∴点P在AB的垂直平分线上。 ０ Ａ B O P 逆定理 ：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 已知：如图16-13，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P求证：点P在BC的垂直平分线上 B C A P 图16-13 证明：连接PA、PB、PC ∵ 点P在AB、AC的垂直平分线上（已知） ∴ PA＝PB，PA＝PC（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等） ∴ PB＝PC（等式性质） ∴ 点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） 发现新论：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。 B C A P 图16-13 　　　　　P124练习第1、2题 本节课重点学习了两个知识点： 1、线段垂直平分线上的点与线段两端相离相等。 2、与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。