1力学量的平均值随时间的变化.ppt

(2)对两个自旋为1/2的全同粒子，波函数必须是反对称的 其基态总能量为2E1，波函数为 非简并 第一激发态总能量是E1+E2，波函数是 四重简并 其中 例题 11 对于无限深势阱中运动的粒子（见图）证明 并证明当n→∞时上述结果与经典结论一致。 证明：归一化的波函数是 则 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a） 范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1， 几率密度 故当 时二者相一致。 例题12 计算 解： 则 而 上式中第一项分部积分两次后为零，第二项可写为 所以 例题13 设归一化的波函数|ψ满足薛定谔方程 定义密度算符（矩阵）为 (1) 证明任意力学量F在态|ψ下的平均值是 (2) 求出ρ的本征值 (3)导出ρ随时间演化方程 证明： (1) (2) 则其本征值是0,1 (3) 由薛定谔方程 得 利用上述两式得 即 例题14 粒子在势场V(x)中运动并处于束缚定态ψn(x)中，证明粒子 所受势场作用力的平均值为零。 证明：粒子所受势场的作用力为 则 例题15 设某一体系的哈密顿算符为 其中x是位置算符，p为其共轭动量算符，m是粒子的质量， 写出p随时间的演化方程 解： 例题16. t=0时刻体系处于力学量A的某一本征态上，如在其后 任何时刻都处在该态上，A需要满足什么条件？ 答： A是守恒量，即[A,H]=0, 两者有共同的本征态。演化后的波 函数是 17 对于一个不含时间的厄米算符F而言，在含时间的状态 |ψ(t), (t≠0)上，它的取值概率是W(t)、平均值是F(t), 在哪两种 情况下W(t)与F(t)皆与时间无关。 解: (1) F是守恒量，即 (2) |ψ(t) 是定态 18. 对于 α是常数，下列哪些量是守恒量 答： 守恒量是 1. 力学量的平均值随时间的变化 2.守恒量 若 则 A称为守恒量 3. 守恒量的性质 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。 第4 章 力学量随时间的演化与对称性 4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 5. 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 （2）在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 守恒量对应的量子数称为好量子数 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 6. 能级简并与守恒量的关系 定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。 推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不 简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态ΨE， 则ΨE必为F 的本征态。 7. 位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为 r?p的平均值随时间的变化为 对定态有 则 （定态下力学量的平均值不随时间 变化） 思考题： r?p并不是厄米算符，应进行厄米化 这是否会影响位力定理得证明。 答：从位力定理的证明可以看出，将r?p厄米化后并不能影响到 定理的证明。 例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即 证明 8. Feynman-Hellmann定理 设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为 若H中含有参数λ，则有 9. 全同粒子体系与波函数的交换对称性 (1) 两个全同粒子组成的体系 (2) N个全同Femi子组成的体系 三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个 不同的单粒子态φk1, φk2, φk3 上，则反对称波函数为 Slater 行列式 N个全同Bose子组成的体系 其中P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成 的置换，这样的置换数为 §4.3 Schr?dinger图像和Heisenberg图像 1. Schr?dinger 图像 力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。 力学量的平均值 波函数随时间演化方程---Schr?dinger 方程 力学量平均值随时间的变化 波函数随时间演化可写成 称为时间演化算符。 (4) 代入(2)得到 则 积分得 可以证明： 是幺正算符。 2. Heishenberg 图像 波函数不变，算符随时间变化 算符的演化方程----Hei