2-4系统经典解法.ppt

* 第一章 信号与系统的基本概念 2.6 系统微分方程的经典解法 2.6.1 齐次解和特解 设LTI连续系统的输入输出微分算子方程为 或者 按照微分方程的经典解法，其完全解y(t)由齐次解yh(t)和特解yp(t)两部分组成， 即 1. 齐次解 齐次解yh(t)是下面齐次微分算子方程 满足0+初始条件y(j)(0+)(j=0, 1, …, n-1)的解。 首先，将A(p)因式分解为 式中，λi为特征方程A(p)=0的第i个根，ri是重根的阶数。 然后，分别求解算子方程 得到齐次解的第i个分量， 即 最后，将各分量相加，求得齐次解 表 2.3 特征根及其相应的齐次解 2. 特解 表 2.4 几种典型自由项函数相应的特解 2.6.2 响应的完全解 将微分方程的齐次解和特解相加就得到系统响应的完全解，即 对于n阶系统，需要通过n个初始条件来确定完全解中的待定系数。 例 2.6-1 给定某LTI系统的微分方程为 (1) 当输入f(t)=e-t时，由表2.4可设微分方程特解为 在上面两式中，令t=0，并考虑已知初始条件，得 (2) 当输入f(t)=10 sin t，t≥0时，由表2.4知，其特解可表示为 相应一阶导数 一个连续系统的完全响应，可以根据引起响应的不同原因，将它分解为零输入响应和零状态响应两部分。也可以按照数学上对系统微分方程的求解过程， 将完全响应分解为齐次解和特解两部分。其中，齐次解的函数形式仅取决于系统本身的特性，与输入信号的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。但应注意，齐次解的系数值是与输入信号有关的。特解的形式由微分方程的自由项或输入信号决定，故称为系统的强迫响应。 如果输入是阶跃信号或有始周期信号，那么也可将系统响应分解为暂态响应和稳态响应。完全响应中暂时存在的分量称为暂态响应， 随着时间的增长，它最终将衰减为零；响应中剩余部分称为稳态响应，通常也由阶跃信号或周期信号组成。 在式(2.6-12)中，由于输入的是负实数指数信号，响应中对应的特解部分随t的增长最终衰减为零，故在完全响应中只包含暂态响应， 而没有稳态响应分量。 例 2.6-2 某连续系统的输入输出方程为 已知f(t)=ε(t)，y(0-)=1, y′(0-)=2，试计算y(0+)和y′(0+)值。 解 由于输入f(t)=ε(t)时，微分方程式(2.6-14)右端含有δ(t)项，故方程左端y″(t)项也应含有δ(t)项。这样y′(t)应含有ε(t)项(即y′(t)在t=0处具有幅度为1的跃变)，而y(t)在t=0处连续。所以 将y(0-)和y′(0-)值代入上式，得 1. 齐次解 设n阶LTI离散系统的传输算子H(E)为 相应的输入输出方程可用后向差分方程表示为 5.6 系统差分方程的经典解法 式中，ai(i=0, 1, …, n-1)、 bj(j=0, 1, …, m)均为常数。 当式中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程 通常，齐次解由形式为cλk的序列组合而成，将cλk代入上式，得到 消去常数c，并同乘λn-k，得 的解称为齐次解，记为yh(k)。 表 5.2 特征根及其对应的齐次解