2.1曲线的参数方程.ppt

第二讲 参数方程 1.参数方程的概念 ？ 救援点 投放点 一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？ 如图，建立平面直角坐标系。 因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。 x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度， 由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动， x y 500 o 物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？ t时刻，水平位移为x=100t，离地面高度y，即： y=500-gt2/2， 物资落地时，应有y=0， 得x≈10.10m； 即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s， 因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。 参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x,y都可以表示为某个变量t的函数 反过来，对于t的每一个允许值，由函数式 所确定的点P(x,y)都在曲线C上， 那么方程 叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。 参数方程 普通方程 x,y的间接联系 x,y的直接联系 例1: 已知曲线C的参数方程是 （为参数） (1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系； (2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。 解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上． 把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到 这个方程无解，所以点M2不在曲线C上． (2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以 解得t=2, a=9 所以，a=9. 练习 1、曲线 与x轴的交点坐标是( ) B A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0) 2、方程 所表示的曲线上一点的坐标是( ) D A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0) 3 已知曲线C的参数方程是 点M(5,4) 该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程 (1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2； 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4 4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参数方程. 解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得 A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线 D 圆的参数方程 y x o r M(x, y) 圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动， 怎样刻画运动中点的位置呢？ 那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有 如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)， 即 这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程 参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻) 考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有 圆心为原点半径为r 的圆的参数方程. 其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度 圆心为 ， 半径为r 的圆的参数方程 一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。 解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，为 (x+1)2+(y-3)2=1 ∴参数方程为 (θ为参数) 例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。 练习： 例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y o x P M Q 解：设点M的坐标是(x, y), 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公