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考 纲 导 学 1.理解坐标系的作用,了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程,通过比较这些图形在极坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
在平面直角坐标系中进行伸缩变换,即改变x轴或y轴的单位长度,将会对图形产生影响.
2.极坐标的概念
(1)极坐标系:
如图所示,在平面内取一个定点O,叫做______,从O点引一条射线Ox,叫做______,选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为______.
(2)极坐标:
对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫做点M的______,θ叫做点M的______,有序实数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
当点M在极点时,它的极径__________,极角θ可以取__________.
(3)点与极坐标的关系:
平面内一点的极坐标可以有无数对,当kZ时,(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示______,而用平面直角坐标表示点时,每一个点的坐标是唯一的.
如果规定ρ>0,0≤θ<2π,或者-π<θ≤π,那么,除极点外,平面内的点和极坐标就一一对应了.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的单位长度,如图所示.
(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ[0,2π)),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ,θ) 互化公式 ρ2=______tanθ=_____ 在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ______________ 圆心为(r,0),半径为r的圆 _______________
圆心为,半径为r的圆 __________ 过极点,倾斜角为α的直线 (1)θ=α(ρR)或θ=π+α(ρR)
(2)θ=α(ρ≥0)和
θ=π+α(ρ≥0)
过点(a,0),与极轴垂直的直线 ___________ 过点,与极轴平行的直线 ___________
过点(a,0),倾斜角为α的直线 _______
答案:极点 极轴 极坐标系 极径 极角
ρ=0 任意值 同一个点 ρcosθ ρsinθ x2+y2 (x≠0) ρ=r(0≤θ<2π)
ρ=2rcosθ ρ=2rsinθ(0≤θ<π) ρcosθ=a ρsinθ=a(0<θ<π) ρsin(α-θ)=asinα
2个要点——极坐标的多样性与对称性
(1)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
(2)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的对称性:
若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;
若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ=所在的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.
2个变换——平面直角坐标系中两种常见变换
(1)平移变换:在平面直角坐标系中,设图形F上任意一点P的坐标为(x,y),向量a=(h,k),平移后的对应点为P′(x′,y′),则有(x,y)+(h,k)=(x′,y′),或表示成
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