(五)勾股定理.doc

（五）勾股定理 一、知识要点： 1、勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理、也称百牛定理) 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 4、定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理 二、 知识结构： 三、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 例1求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆． 变式 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 例2（09年山东滨州）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（??? ） A．21?????? B．15?????? C．6??????? D．以上答案都不对 【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ． 2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch） 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例3（09年湖南长沙）如图1所示，等腰中，， 是底边上的高，若，求 ①AD的长；②ΔABC的面积． ?考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 例4（09年滨州）某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，， ，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为??????? ． 分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现，所有台阶的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角边BC的长度，所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形ABC的直角边AC的长度，只需利用勾股定理，求得这两条线段的长即可。 考点五、利用列方程求线段的长（方程思想） 例5小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ 【强化训练】：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。. 考点六：应用勾股定理解决勾股树问题 例6如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为 ?分析：勾股树问题中，处理好两个方面的问题， 一个是正方形的边长与面积的关系，另一个是正方形的面积与直角三角形直角边与斜边的关系。 考点七：应用勾股定理解决数学风车问题 例7(09年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。 分析：因为，直角边AC＝6，BC＝5，当将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍后，得到四个直角边分别是12和5的直角三角形，所求的最长实边恰好是这些直角三角形的斜边长，因此，斜边长为：=13，较短的实边长是6，所以，这个风车的外围周长为：4×13+4×6=76。 解：这个风车的外围周长为76。 考点八：判别一个三角形是否是直角三角形 例8分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有 【强化训练】：已知△ABC中，三条边长分别为a＝n－１， b＝2n， c＝n＋１（n＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角． 考点九：其他图形与直角三角形 例9如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。 考点十：构造直角三角形解决实际问题 例10在某一平地上，有一棵