2012高二数学典例精析课件第一章 1.1 1.1.2 《余弦定理》(人教A版必修五).ppt

1.1.2 　余弦定理 1．掌握余弦定理的两种表示形式． 2．初步掌握余弦定理的应用． 3．培养推理探索数学规律和归纳总结的思维能力． 1．余弦定理． 平方 平方 夹角 两倍 三角形中任何一边的____等于其他两边的____的和减去这 两边与它们的____的余弦的积的____．即 a2＝______________， b2＝__________________，c2＝__________________. 练习1：在△ABC 中，已知 C＝60°，a＝3，b＝4，则边长 c＝________. b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB a2＋b2－2abcosC 2．余弦定理的推论． cosA＝________________；cosB＝________________； cosC＝______________. b2＋c2－a2 2bc a2＋c2－b2 2ac a2＋b2－c2 2ab 练习2:在△ABC 中，已知 a＝3，b＝4，c＝6，则 cosC＝ _______. － 11 24 1．余弦定理对任意三角形都适合吗？ 答案：都适用． 2．余弦定理的式子中有几个量？从方程的角度看已知其中 三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 答案：四个，能． 3．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余 弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这 两个定理之间的关系？ 答案：若△ABC 中，C＝90°，则 cosC＝0，这时 c2＝a2＋ b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理 的特例． 4．余弦定理及其推论的基本作用是什么？ 答案：(1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出 第三边；(2)已知三角形的三条边就可以求出其他角． 题型1 已知两边及夹角解三角形 求 b 及 A. 思维突破：已知两边及其夹角，可直接使用余弦定理求解． 应注意确定 A 的取值范围，根据问题的具体 情况，灵活地选择定理及其变形公式，是解三角形的关键所在． 【变式与拓展】 D 题型2 已知三边解三角形 例2：已知△ABC 的三边长 a＝3，b＝4，c＝ 　 ，求三角 形的最大内角． 思维突破：已知三边，可直接使用余弦定理求解． 在三角形中有“大边对大角，小边对小角”、 “等边对等角，等角对等边”． 【变式与拓展】 3．在△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则△ABC 是( ) B A．锐角三角形 C．直角三角形 B．钝角三角形 D．不能判断 4．已知三角形三边之比 5∶7∶8，则最大角与最小角的和 为__________． 120° 题型3 余弦定理的简单应用 a2＋c2－b2与ac 之间的关系式在解与三角形有 关的问题中经常遇到，应养成自觉使用余弦定理的习惯． 【变式与拓展】 5．在△ABC 中，若 a＝9，b＝10，c＝12，则△ABC 的形 状是__________． 锐角三角形 例4：在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果 a2b2＋c2， 求 A 的取值范围． 则 cosA＝ b2＋c2－a2 2bc 0. 由于 cosA 在(0°，180°)上为减函数， 且 cos90°＝0，∴A90°. 又∵A 为△ABC 的内角，∴0°A90°. 又∵a 是最大边，∴A60°. 因此得 A 的取值范围是(60°，90°)． 试解：∵a2b2＋c2，∴b2＋c2－a20. 易错点评：审题不细心，对已知条件的弱用．题设a 为最 大边，而同学们很可能只把a 看做是三角形的普通的一条边， 从而造成解题错误． 1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理 是余弦定理的特例． 2．已知两边及其中一边所对角用余弦定理解方程的方法求 解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍． 例1：在ABC中，已知a＝2，c＝＋，B＝45°， 自主解答：∵b2＝a2＋c2－2acosB ＝(2)2＋(＋)2－2·2·(＋)cos45° ＝12＋(＋)2－4(＋1)＝8. b＝2. ∵cosA＝＝＝， A＝60°. (另解：由题，得sinA＝sinB＝·sin45°＝. 又＋＞2.4＋1.4＝3.8. 2＜2×1.8＝3.6，a＜c.即0°＜A＜90°，A＝60°.) 1．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，b＝，B＝120°，则a＝(　　) A. B．2 C. D. 2．在ABC中，a＝2，b＝2，C＝45°，求A，B和c. 解：∵c2＝a2＋b2－2abcosC ＝4＋8－2×2×2×＝