2013年新人教版八年级上12.3.2角平分线的性质(2).ppt

反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？ * P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点P 几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线的性质： 不必再证全等 O D E P A C B P 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上 P C 证明: 作射线O P ∵ PD⊥OA，PE⊥OB 　∴ ∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 　 PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） 　∴ ∠ POD＝∠POE ∴点P在∠AOB的平分线上 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． P C 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE． ∴OP平分∠AOB． 用数学语言表示为： 角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定） 角的平分线的性质 结论 已知 条件 图形 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理，PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 D P M N A B C F E 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD 于H，FM⊥BC于M， G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， 　 FG⊥AE， FM⊥BC， ∴FG=FM. 又∵点F在∠CBD平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH. ∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 课堂练习 P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 A B C E F D 如图，△ABC中，D是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 是E、F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线 课堂练习 如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分∠BAC A B C F E D 课堂练习 * * *