ch1.3古典概率模型.ppt

小结 本节首先给出古典概型的定义；然后讨论了古典概型中事件概率求法： 应用数理学院 第一章第三节 古典概率模型 I. 什么是古典概率模型 如果试验E满足 (1) 试验结果只有有限种， (2) 每种结果发生的可能性相同。 则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称为等可能概型或古典概型。 II. 古典概率模型中事件概率求法 因试验E的结果只有有限种,即样本点是有限个: ?1,?2 ,…,?n ，其中 Ω={?1}∪{?2 }∪…∪{?n}， {?i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是，有 1=P(Ω)=P({?1}∪{?2 }∪…∪{?n}) =P({?1})+P({?2 })+…+P({?n}) =nP({?i}), i=1,2,…n。 从而，P({?i})= 1/n，i=1,2,…n。 因此，若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k?(1/n)=k/n。 III. 古典概模型的例 例1： 掷一颗均匀骰子， 设:A表示所掷结果为“四点或五点”； B表示所掷结果为“偶数点”。 求:P(A)和P(B)。 解： 由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3； 再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。 例2： 解: 货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率。 从15件商品中取出2商品,共有C215 =105种取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。 令 A={两件商品都来自产地甲},kA= C212=66, B={两件商品都来自产地乙},kB= C23 =3， 而事件:{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与B互斥,A∪B包含基本事件数66+3=69。 故，所求概率=69/105=23/35。 例3 ：有外观相同的三极管6只,按其电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种方案抽取三极管两只, (1).每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取 下一只(放回抽样); (2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下 的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)。 设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽到两只不同类三极管}。 求：P(A),P(B),P(C),P(D)。 解: (1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取。因第一次从6只中取一只,共有6种可能取法；第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管共有6?6=36 种可能的取法。从而,n=36。 注意:这种分析方法使用的是中学学过的 乘法原理 因每个基本事件发生的可能性相同,第一次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。所以,取两只甲类三极管共有 4?4=16 种可能的取法, 即kA=16。故 P(A)=16/36=4/9； 令E={抽到两只乙类三极管},kE=2?2=4。故 P(E)=4/36=1/9; 因C是E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9； 因B= A∪E ,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9； D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。 (2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法；第二次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法。由乘法原理，知取两只三极管共有n=6?5=30种可能的取法。 由乘法原理,得 kA=4?3=12, P(A)=12/30=2/5; kE=2?1=2，P(E)=2/30=1/15; 由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15； 由B=A∪E,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15； 由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15。 解: 例4：n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中,若盒子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球”的概率。 因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个, 故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放入N个盒子中共有Nn种不同的放法。 每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法原理得): N(N-1)…(N-n+1)=ANn 种。 故， P(A)= ANn/Nn。 设每个人在一年(按365天计)内每天出生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365)个