2013版高中全程复习方略配套课件：3.2三角函数的诱导公式(人教A版·数学理)浙江专用.ppt

* 第二节 三角函数的诱导公式 三年1考 高考指数:★ 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 1.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点也是热点. 2.主要以选择题、填空题的形式考查. 三角函数的诱导公式 （1）三角函数的诱导公式 （2）诱导公式的记忆方法与规律 ①记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（解释：公式中的角可以表示为k· ±α（k∈Z）的形式，“奇、偶”是指k的奇偶性；“符号”是指把任意角α看作是锐角时原函数值的符号） ②可以分类记忆：函数名称“变与不变”，函数值的符号“变与不变”. 【即时应用】 (1)思考:“符号看象限”中符号是否与α的大小有关？ 提示:无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ+α(k∈Z)，π+α,-α,π-α, -α， +α分别是第一、三、四、二、一、二象限角. （2）sin(- )=______. 【解析】sin(- )=-sin(π+ )=sin = . 答案： (3)已知tan(π+α)=3,则 【解析】∵tan(π+α)=3,∴tanα=3. 原式= 答案：7 利用诱导公式求值 【方法点睛】 利用诱导公式解题的原则和步骤 （1）诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了. （2）诱导公式应用的步骤： 任意负角的三角函数 → 任意正角的三角函数 → 0～2π的角的三角函数 → 锐角三角函数 【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号. 【例1】(1)(2012·宁波模拟）若sin( -α)= , 则cos( -α)=______. (2)已知α为第三象限角, ①化简f(α)； ②若 求f(α)的值. 【解题指南】（1）拆分角 (2)①直接利用诱导公式化简约分.②利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f(α). 【规范解答】 答案：- (2)① ∴ 从而 又α为第三象限角, 即f(α)的值为 . 【反思·感悟】在利用诱导公式求值时，一般要先化简，再根据条件求值，掌握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负号”的正确判断.另外，诱导公式的应用非常灵活，可以正用、逆用和变形应用,但是要尽量避开平方关系. 【变式训练】已知sin(α- )=a(a≠±1,a≠0), 求 的值. 【解析】 利用诱导公式化简证明 【方法点睛】 1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 （1）思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式. （2）化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值. 2.三角恒等式证明的常用方法 (1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则). (2)两边向中间证. (3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立. 【例2】(1)化简: (2)求证:对于任意的整数k, 【解题指南】(1)把所给的三角函数式化简，约分得结果. (2)由于此题中的k不明确，需要对其分偶数和奇数讨论. 【规范解答】(1)原式 (2)当k为偶数时,设k=2n(n∈Z), 则原式 当k为奇数时,设k=2n+1（n∈Z）， 则原式 故对任意的整数k, 【互动探究】将本例(1)化简式变为 如何化简? 【解析】原式 【反思·感悟】1.在用诱导公式时,式子符号的判断看象限,注意把任意角α看成锐角来处理. 2.把异角利用诱导公式化为同角,再用同角三角函数关系式化简是求解的关键. 【变式备选】(1)化简 (2)求证: 【解析】(1)因为 所以原式=-sinα+sinα=0. (2)因为左边 所以原等式成立. 右边, 诱导公式在三角形中的应用 【方法点睛】 三角形中的诱导公式 在三角形ABC 中常用到以下结论: sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC, tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC, 【例3】在△ABC中，若 求△ABC的三个内角. 【解题指南】先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA，进而可求得角A,B,C. 【规范解答】由已知得 两式平方相加得2cos2A=1,即cosA= 或cosA=- . （1）