2014·新课标高考总复习·数学选修4-1-1相似三角形定理.ppt

一、相似三角形的判定定理与性质定理 1．相似三角形的判定定理 二、平行截割定理 1．定理 三条平行线截任两条直线，所截出的对应线段 ． 2．推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段 ． 三、直角三角形的射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 ；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的 ． 1．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，图形中共有x个三角形与△ABC相似，则x的值为(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：由题意知，△ACD和△CBD与△ABC相似，故x＝2. 答案：B 2．(课本习题改编)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且 ＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是(　　) 答案：C 3．如图，F为?ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于点G，E，EF＝16，GF＝12，则BE的长为(　　) A．6　　　　　　　　 B．8 C．12 D．15 解析：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8，故选B. 答案：B 4．(课本习题改编)如图，AB∥EM∥DC.AE＝ED，EF∥BC，EF＝12 cm，则BC的长为________． 解析： ?E为AD的中点，M为BC的中点． 又∵EF∥BC?EF＝MC＝12 cm. ∴BC＝2MC＝24 cm. 答案：24 cm 5．(2012年湖南十二校联考)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝ ，点E，F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝________. 解析：连接DE，可知△AED为直角三角形，则EF是Rt△DEA斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为 . 考向一　平行线分线段成比例定理的应用 [例1]　如图，△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长． 1．(2013年天津武清模拟)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝________. 答案：6 考向二　相似三角形的判定及性质的应用 [例2]　(2013年大连四校联考)如图，设M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于点F，EM交BD于点G. (1)写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； (2)设α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长． [解析]　(1)依题意可知△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM. ∵∠AMF＝∠B＋∠D，∠BGM＝∠DME＋∠D， 又∠B＝∠A＝∠DME＝α， ∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM. 2．如图，已知?ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF. 证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥DC，AD∥BC. 所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA. 所以△ABF∽△GDA. 从而有＝ ， 即AF·AD＝AG·BF. 考向三　射影定理的应用 [例3]　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，试证明： (1)AB·AC＝BC·AD； (2)AD3＝BC·CF·BE. [证明]　(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC， ∴S△ABC＝ AB·AC＝ BC·AD. ∴AB·AC＝BC·AD. (2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得 BD2＝BE·AB， 同理CD2＝CF·AC， ∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC. 又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC， ∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD. 即AD3＝BC·CF·BE. 【创新探究】　巧构相似三角形求面积之比 【典例】　(2011年高考广东卷)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________． 【思路导析】　延长线段AD与BC构造相似三角形，利用相似三角形的性质定理求解．