(22-54版块5-3钟炜网选)高中数学微课课件--向量法求空间角(未知).ppt

突破·高频考点 培养·解题能力 向量法求空间角 主讲人: 未知 来源：百度文库 日期：2015年4月7日 选编：钟炜（四川省自贡市荣县教研室）日期：2016年11月4日（注：编入钟炜的博客--第22类高中数学讲座54版块5-3） 要 点 归 纳 1．两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a′ b′ ? o a b （范围： ） = B A O n B A O n 所以，直线与平面所成的角的正弦值为 |cosn1，n2| 求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． （范围： ） 【例1】 (2013·湖南卷) 如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC， ∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． B x 【训练1】 (2014·青岛质检)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 1．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算． (1)求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向　　　　　　　　　　　　　　　　　　 向量a，b的夹角，则cos θ＝|cosa，b|. (2)求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin θ＝|cosn，a|. (3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝n1，n2或π－n1，n2. （求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角） 课堂小结 作业：资料P112 突破·高频考点 培养·解题能力 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 [0，π] 求法 cos θ＝ cos β＝ 2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β.则sin θ＝|cos β|＝. 3．求二面角的大小 如图，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． (2)解　由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0) 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量 则即 令x＝1，则n＝(1，－，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sθ=|cosn，|＝＝＝. 【】 (2014·重庆)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，ACB＝ACD＝，F为PC的中点，AFPB. (1)求PA的长； (2)求二面角B－AF－D的正弦值． (2)由(1)知，＝(－，3,0)，＝(，3,0)，＝(0,2，)． 设平面FAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 由n1·＝0，n1·＝0，得 因此可取n1＝(3，，－2) 由n2·＝0，n2·＝0，得 故可取n2＝(3，－，2)． 从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为 cosn1，n2＝＝. 故二面角B－AF－D的正弦值为. 【】 (2013·天津卷)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点． (1)证明B1C1CE； (2)求二面角B1－CE－C1的正弦值； 答题模板