保定市高阳中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷.doc

22.（本小题满分12分）设函数 (1)当时，求函数单调区间；(2)令，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，方程 在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围． (－∞，－1)(2，＋∞) 16. 17.证明(1)f(1)－2f(2)＋f(3)＝1＋p＋q－2(4＋2p＋q)＋9＋3p＋q＝2. (2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，则有|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|. ∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|2.又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)| f(1)－2f(2)＋f(3)＝2，这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|2矛盾． ∴假设不成立，从而原命题成立． 18.解:为奇函数,,即,,…………2分 又的最小值为,， …………4分 又直线的斜率为 ,因此,, ,∴,,为所求. (2)由(1)得,∴当时,, …………10分 当且仅当 时取等号 …………11分∴的最小值为. …………12分 19解：由于…………2分 因为函数f(x)存在单调递减区间，所以0有解. …………4分 又因为函数的定义域为，则ax2+2x－10应有x0的解. …………5分 时成立…………7分 当a0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－10总有x0的解；…………9分 ②当a0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－10总有x0的解，则△=4+4a0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1a0.综上所述，…………11分a的取值范围为（－1，+∞）. …………12分（或用分离变量） 20.解:()方程可化为.当时,. 又, 于是解得 ,故. (2)设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为 ,即. 令得,从而得切线与直线的交点坐标为. 令得,从而得切线与直线的交点坐标为.所以点处的切线与直线,所围成的三角形面积为. 故曲线上任一点处的切线与直线,所围成的三角形的面积为定值,此定值为.(1) 在图1中,易得 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知, 所以,所以,理可证, 又,所以平面.(2) 以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,, 所以,设为平面的法向量,则 ,即,解得,令,得由() 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为. 22.解：(1)依题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当时，f(x)＝lnx－x2－x，f′(x)＝－x－＝， 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．分 当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0， 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞).分 (2)F(x)＝lnx＋，x(0,3]， 则有k＝F′(＝≤在(0,3]上恒成立.分所以 ， 当＝1时，－x＋取得最大值.分.…………7分 (3)当时，f(x)＝lnx＋x，由f(x)＝mx，得lnx＋x＝mx， 又x＞0，m＝1＋.分要使方程f(x)＝mx在区间上有唯一实数解． 只需m＝1＋有唯一实数解，令g(x)＝1＋(x＞0)，g′(x)＝， 由g′(x)＞0，得0＜x＜e.g′(x)＜0，得x＞e，g(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数． g(1)＝1，g(e2)＝1＋＝1＋，g(e)＝1＋，分m＝1＋或1≤m＜1＋.分 E B O D C