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条件概率及其应用 条件概率定义 条件概率性质 全概率公式 Bayes公式 * * 条件概率的定义 条件概率是概率论中的一个重要概念，同时，我们将发现它也是用来计算复杂模型中概率的重要工具。 什么是条件概率？ 条件概率的性质 全概率的公式 注意到 这样，由概率的可加性 全概率公式 解: 解：设A为两件都是废品 P(A) 例. 甲、乙两家工厂生产某型号车床，其中次品率分别为20%, 5%。已知每月甲厂生产的数量是乙厂的两倍，现从一个月的产品中任意抽检一件，求该件产品为合格的概率？ 进一步考虑下列问题，如果抽检的确实件次品，那么该件产品究竟是由哪个厂家生产的呢？当然，这同样是个不确定性问题。另外，显然，甲的可能性要大得多，因为甲产量多，次品率也高。 实际上 以上这类问题在医药领域相当重要，因为人们常常需要从诊断的结果来寻找真正的原因。 例. 用血清甲蛋白法诊断肝癌。 以表示被检验者确实患有肝癌，表示临床诊断被检验者患有肝癌。根据先前的经验， 现若有一病人被此方法诊断为患有肝癌， 求此人确实患有肝癌的概率？ 注：此人实际患有肝癌的可能性并不大。如果不用概率论思想来解释，很难理解此事；如果病人知道一些概率的话，那么他的担心会更少些。 解. 解. 总结以上内容，我们得到Bayes公式： 例：设10张彩票中只有一张中奖票，10人同时摸这10张彩票，张三和李四各得一张。记 张三中奖} 李四中奖} 由古典概率模型我们知 显然，如果已知李四中奖，那么张三就没有机会中奖，也就是说：在事件发生的条件下，事件发生的概率为0，记. 现在设李四先刮开彩票，已知李四有没有没中奖的信息对计算张三中奖的的可能性大小有没有影响？ 如果已知李四没中奖，张三中奖的机会有多大？也就是说：在事件发生的条件下，事件发生的概率为多少？ 例：掷一颗均匀的骰子，出现1，2，3，4，5，6点的可能性都一样，因此，每次出现4或6的可能性为1/3。 也就是说 样本空间 事件 现在假如有人看了一眼骰子，并告诉你，骰子出现的点数是偶数，这信息对你的判断或押赌很重要，这时你就有多少把握断定它是4或者6？ 如果记{偶数}，已知发生，那么你选择的范围就限于{2,4,6}，既然出现2,4,6是等可能的，那么出现{4,6}的概率为2/3。 也就是说：在事件发生的条件下，事件A发生的概率是2/3, 写 回忆一下上面的计算过程： 在事件发生的条件下，选择的范围就限于, 也就是说我们把当作一个缩小了的新的样本空间，其中每个基本结果的出现是等可能的。这就形成一个新的古典概率模型。这时再考察事件的概率。 一般地，在古典概率模型下，都可以这样做，当然我们要求。对一般的概率空间，我们把它作为条件概率的数学定义。 条件概率定义 假设(, F, )是一个概率空间，,是两个事件，用表示在事件发生的条件下，发生的概率大小，并定义 当然，在上式中我们要求。如果，按定义，人们几乎无法观察到的发生。 例. 一个家庭有两个孩子。 (1) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？ (2) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？ 解: （1）记 至少有一个男孩} 两个都是男孩} 这时 ， 每一种等可能发生，即1/4。而 由定义， ==. 另解：将看作是缩小的一个新的样本空间，仍是一个古典概率模型，这时 (2) 记 年纪小的是男孩} 两个都是男孩} 这时 , .由定义， =. 给定F 使得。 对任何F，我们都可以定义。 也就是说，我们可以在F上定义一个函数 不难按照概率定义验证 也是F 的一个新的概率 按定义 这样，我们显然有 这里同样要求。 这就是乘法公式 例: n件产品中有m件废品，任取两件, 求它们都是废品的概率? 那么 现在记第一件为废品}, 第二件为废品}. 例. 假设张彩票中有一张中奖票。 (1) 已知前个人没有摸到中奖票，求第个人摸到中奖票的概率？ (2) 求第个人摸到中奖票的概率？ 解：记第个人摸到中奖票}。 (1) 我们要计算的条件概率是 (2) 我们要计算的是无条件概率. 注意到 . 由链式法则， 再回忆一下条件概率的定义: 要求. 如果，数学上条件概率没有定义，用概率的语言说，几乎不会发生，因此我们无法使用该信息。 我们再看另一个极端情形：。这时 在事件发生的条件下，发生的条件概率与的无条件概率相等。换句话说，如果，那么几乎一定会发生，或者说该信息是众所周知的，对我们考察另一事件发生的可能性大小也不会有何帮助。 能影响我们关于事件 的判断的 应该是那些。这时，当然 。由乘法公式： 这给我们提供了一个计算概率的方法。我们把样本空间分解成，概率同样分解成两部分分别计算，再求