10-5对坐标曲面积分.ppt

曲线积分与曲面积分 一、基本概念 二、概念的引入 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系 六、小结 对称性 例 其中Σ 解 法一 直接用对坐标的曲面积分计算法. 且其投影区域分别为 由于Σ取上侧, 在第一卦限部分的 上侧. 面的投影 都是 正的, 取上侧 ò ò - + - - 1 0 1 0 d ) 2 2 2 ( d x y x y x x 法二 利用向量的点积法计算. Σ取上侧, 锐角. 则法向量n与z轴正向的夹角为 1、物理意义 2、计算时应注意以下两点 曲面的侧 “一投,二代,三定号” 3、两类曲线积分之间的联系 向量的点积法(合一投影法) 思考题 思考题解答 此时 的左侧为负侧， 而 的左侧为正侧. 练 习 题 练习题答案 * 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典型双侧曲面 规定 法向量的方向来区分曲面的两侧. 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 播放 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 类似地,可定义 在yOz面及zOx面的投影: 希自己写出 在xOy面上的投影 在xOy面上的投影区域的面积附以一定的 实际上就是 正负号. 的二面角. 实例: 流向曲面一侧的流量. 1. 分割 则该点流速为 . 法向量为 . 2. 求和 3.取极限 三、概念及性质 被积函数 积分曲面 类似可定义 存在条件: 组合形式: 物理意义: 性质: 注: 当曲面Σ 母线平行于z轴的柱面时, 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 解 极坐标 计算对坐标的曲面积分时: (1) 认定对哪两个坐标的积分,将曲面Σ表为 这两个变量的函数,并确定Σ的投影域. (2) 将Σ 的方程代入被积函数,化为投影域上 的二重积分. (3) 根据Σ的侧(法向量的方向)确定二重积分 前的正负号. 一投 二代 三定号 例 其中Σ是 所围成的正方体的表面的 Σ2 Σ4 Σ5 Σ6 Σ3 先计算 由于平面 都是母线平行于x轴的柱面, 则在其上对坐标y,z的积分为0. 解 三个坐标面与平面 外侧. Σ1 x=a面在yOz面上的投影为正,而 x=0面在yOz面上的投影为负. 投影域均为: 0≤y≤a, 0≤z≤a, 故 由 x,y,z 的对等性知, 所求曲面积分为 3a4. 后两个积分值也等于a4. Σ2 Σ4 Σ5 Σ6 Σ3 Σ1 两类曲面积分之间的联系 向量形式 * 上侧为正, 下侧为负 化为二重积分 一投 二代 三定号 向量的点积法(合一投影法) * 前侧为正, 后侧为负 若光滑有向曲面Σ由方程 x = x(y, z)给出, Σ在yOz面上的投影区域为Dyz , 函数x(y, z)在Dyz上 具有一阶连续偏导数, 则 化为二重积分 * 若光滑有向曲面Σ由方程 y = y(x, z)给出, Σ在xOz面上的投影区域为Dxz, 函数y(x, z)在Dxz上 具有一阶连续偏导数, 则 化为二重积分 右侧为正, 左侧为负 解 Σ在xOy面上的投影 区域为Dxy: 例 计算 其中Σ是球面外侧 在的部分. 例 计算,其中Σ是旋转抛物面介于平面及 之间的部分的下侧. (1) 流速场为常向量 ,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1). 该点处曲面Σ的单位法向量 , 通过流向指定侧的流量的近似值为 记作,即 当在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在. 设积分曲面Σ是由方程所给出的曲面上侧,Σ在面上的投影区域为,函数在上具有一阶连续偏导数,被积函数在Σ上连续. 设有向曲面Σ是由方程给出,Σ在面上的投影区域为, 函数在 上具有一阶连续偏导数, 在Σ上连续. 对坐标的曲面积分为 曲面Σ的法向量的方向余弦为 其中为有向曲面Σ上点处的单位法向量, 称为有向曲面元,为向量在上的投影. 设为球面，若以其球面的外侧为正侧，试问之左侧（即轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么的左侧是正侧吗？ 在有向曲面Σ上取一小块 曲面 把曲面Σ分成小块(同时也代表 第小块曲面的面积), 在上任取一点 , 通过Σ流向指定侧的流量 对面积的曲面积分为 所以 (注意取曲面的两侧均成立) 填空题: 1、 =_______________________. 2、第二类曲面积分化成第 一类曲面积分是__________，其中为有向 曲面上点处的___________的方向角 .