10.对坐标的曲面积分.pptVIP

* 对坐标的曲面积分 一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典型双侧曲面 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 类似地可定义 二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. 1. 分割 则该点流速为 . 法向量为 . 2. 求和 3.取极限 三、概念及性质 积分曲面 被积函数 有向面积元 类似可定义 存在条件: 组合形式: 物理意义: 性质: 由定义可知对坐标的曲面积分具有与 对坐标的曲线积分相类似的性质 1。 可加性 2 。 反向性 四、对坐标的曲面积分的计算法 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式 概括为： 代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数 投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面） 定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号 一代、二投、三定号 注 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加 ②确定正负号的原则： 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负 例1 计算 所截得的在第一卦限的部分的前侧 解 解 例2 例3 计算 平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧 o x y z 解 分成四个部分 左侧 下侧 后侧 上侧 同理 同理 注 对坐标的曲面积分的对称性 被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按 x y z 顺序代换后原式不变 积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同 五、两类曲面积分之间的联系 *