创新设计2011第十二章概率与统计12-61.ppt

了解离散型随机变量期望值、方差的意义/会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差 1．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望，简称期望． 2．方差： 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…， xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，那么，Dξ＝(x1－ Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…称为随机变量ξ的均方 差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望． 3．期望的性质：E(aξ＋b)＝aEξ＋b. 4．方差的性质：(1)D(aξ＋b)＝a2Dξ；(2)Dξ＝Eξ2－(Eξ)2. 5．二项分布的期望、方差若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)． 1．设随机变量ξ的取值为1,2,3,4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)， 又ξ的数学期望Eξ＝3，则a＋b＝________. 答案： 4．(长沙市一中高三月考)某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的6位数N＝　 ，其中N的各位数字中，n1＝n6＝1，nk(k＝2,3,4,5)出现0的概率为 ，出现1的概率为 ，记ξ＝n1＋n2＋…＋n6，问ξ＝4时的概率为________，ξ的数学期望是________． 解析：P(ξ＝4)＝ ，ξ的数学期望是 2P(ξ＝2)＋3P(ξ＝3)＋4P(ξ＝4)＋5P(ξ＝5)＋6P(ξ＝6)＝ 答案：　 1. 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列 然后利用公式计算． 2．由ξ的期望方差求aξ＋b的期望方差是常考题之一，常见根据 期望和方差的性质求解． 【例1】 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下： 现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分 分别为ξ，η (1)求ξ，η的概率分布；(2)求Eξ，Eη. 变式1.甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望．(精确到0.000 1) 二项分布的期望和方差除了根据定义去求，可利用公式求解． 若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)． 【例2】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ， 用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求： (1)随机变量ξ的分布列；(2)随机变量ξ的期望． 解答：解法一：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5. 由等可能性事件的概率公式得 P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ ， P(ξ＝2)＝ ，P(ξ＝3)＝ ， P(ξ＝4)＝ ，P(ξ＝5)＝ . 从而，ξ的分布列为： (2)由(1)得ξ的期望为： Eξ＝ 解法二：(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重 复试验，故ξ～B(5， )，即有P(ξ＝k)＝ ，k＝0,1,2,3,4,5. 由此计算ξ的分布列如解法一． (2)Eξ＝ . 解法三：(1)同解法一或解法二． (2)由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布， 故期望值相等．即3Eξ＝5，从而Eξ＝ . 变式2. 2010年广州亚运组委会向民间招募防暴犬，首先进行入围测试，计划考查三类问题：①体能；②嗅觉；③反应，这三类问题中只要有两类通过测试，就可以入围．某驯犬基地有4只优质犬参加测试，已知这4只优质犬通过①类问题的概率都是 ，通过②类问题的概率都是 ， 通过③类问题的概率都是 . (1)求每只优质犬能够入围的概率； (2)若每入围1只优质犬给基地计10分，设基地得分为随机变量ξ，求Eξ. 解答：(1)设通过①类测试为事件A，通过②类、③类分别为B、C， 则由题意知 P＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)·P( )＋