第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C.doc

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C一、填空题（每小题 10 份，共 80 分）1. 计算： 【答案】1 【考点】计算：分数小数综合运输 【解析】 2. 在右边的算式中，每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字，则“ 数学竞赛 ”所代表的四位数是________． 【答案】1962 【考点】组合：数字谜 【解析】 遇到减法数字谜通常变成加法会更利于分析： 个位为4，所以赛为2或7，若赛为7则会进位，和的十位只能是奇数，所以； 个位为2，若，原式为，有重复数字；所以，． 3. 如下图，在直角三角形 ABC 中，点 F 在 AB 上且 AF (?2 FB ，四边形 EBCD 是平行四边形，那么 FD : EF为________． 【答案】 【考点】几何：沙漏模型 【解析】 由沙漏模型可知 4. 下图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米，向下爬行的速度为每秒 3 厘米，水平爬行的速度为每秒4 厘米，则蚂蚁至少爬行了多少秒？ 【答案】40秒 【考点】组合：最值问题 【解析】 要想时间最少，则需要按如图中的粗线爬行；蚂蚁向上、向下爬行的最短路程是厘米，水平爬行的路程是厘米，所以至少用时秒 5. a ，b， c，d ，ea (?b?( c??( d??( e??， a (??b(?c?(4d?(5e?(300 ， 则 a ( b的最大值为________． 【答案】35 【考点】组合：最值问题 【解析】 和是五个数中最小的两个，要想最大，则希望这五个数尽量接近，先估算再局部调整；，则先让．而，大于300，调整得：，离300差5，则最后让即可．所以的最大值． 也可通过计算证明最大只能取到35： 可得 6. 现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台 A 型水泵单独向甲水池注水，一台 B 型水泵单独向乙水池注水，一台 A 型和一台 B 型水泵一期向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多 4 个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多 5 个小时，则注满丙水池的三分之二需要________个小时． 【答案】4 【考点】应用题：工程问题 【解析】 设注满丙池用小时，则注满乙池用时小时，注满甲池用时小时；利用丙池工效应该等于甲乙两池工效之和可得： 所以注满丙池的三分之二需要小时 注:通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字交叉法，对于小学生来说是无法做的．而本题解法比较巧妙，设丙池的时间，最终只需要解即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破常规，寻求出路． 7. 用八块棱长为 1cm 的小正方体堆成一个立体图形，其俯视图如下图所示，则共有________种不同的堆法．（经过旋转能重合的算一种堆法） 【答案】10 【考点】计数：分类枚举 【解析】 法一：（先每列放几块讨论） 可以直接分类枚举，也可以先再每个位置放一块，这样只需要分析剩下4块的方法即可 ，1种； ，3种，，（这两个不一样，此题的易错点）， ，2种，， ，3种，，， ，1种，． 共：种 法二：（按每层放几块讨论） 底层已用了四块小方体，考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况．见下图，第二层有一块，只有1种堆法；第二层有两块，有5种堆法；第二层有三块，有3种堆法；第二层有四块，只有1种堆法． 总计有10种堆法． 8. 如图， 在三角形 ABC 中，AF (?2 BF ，CE (?3 AE ，CD (?4 BD ， 连接 CF 交 DE 于 P 点，则 【答案】 【考点】几何：风筝模型 【解析】 连接和． 因为，所以,又因为，； 同理可得；所以． 注：填空题所以直接使用了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次． 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9. 有三个农村在一条公路边， 分别在下图所示的 A ，B 和C 处．A 处农场年产小麦 50 吨，B 处农场年产小麦 10 吨，C处农场年产小麦 60 吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从 A 到 C 方向是每吨每千米 1.5 元，从 C 到 A 方向每吨每千米 1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？ 【答案】处 【考点】应用题：分类讨论 【解析】 讨论变化趋势，比较A、B两点设仓库可知A→B运费越来越高，而B→A则运费越来越低，同理可知C→B运费越来越低，而B→C则运费越来越高． 具体比较三点： 若建在处，运费为：元 若建在处，运费为：元 若建在处，运费为：元 所以建在处运费最低． 10. 中的每个分数都化成最简分数