1.5条件概率.ppt

例 7 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 设事件 A 为“任取一件为次品”, 解 由全概率公式得 30% 20% 50% 2% 1% 1% 例8 袋中有a只红球b只白球,先从袋中任取一球,记下颜色后放回，同时向袋中放入同颜色的球1只, 然后再从袋中取出一球.求第二次取到白球的概率. 记 第 次取到白球 第 次取到红球 第 次取到白球 则 是 的一个分划 ，由全概率公式有 第二次取到白球的概率与第一次取到白球的概率相等,与前面放入什么颜色的球无关 如果加入 c 个同色球有什么结果？ 解 例9 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同? 解 则有 抓阄是否与次序有关? 依此类推 故抓阄与次序无关. 该球取自哪号箱的可能性最大? 实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小. 例如： 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 1 2 3 或者问: 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B) 运用全概率公式 计算P(B) 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式 1 2 3 ? 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率. 3、贝叶斯公式 称此为贝叶斯公式. 例 10 解 设“学生知道正确答案”这一事件为 则问题归结为 求条件概率 这一事件为 “答对了” 一道选择题有4个答案，其中仅有一个是正确的。 假设一名学生知道正确答案以及不知道正确答案而乱猜 的概率都是0.5（乱猜就是任选一个答案），如果已知 一名学生答对了，问他确实知道正确答案的概率是多少？ 由题意 根据贝叶斯公式, 有 例11 解 (1) 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 解 例12 由贝叶斯公式得所求概率为 Bayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计、检验、判别、推理等方面 人物介绍 贝叶斯 假定 为导致试验结果的 “原因” 称 先验概率 为 若试验产生事件 ,则要探讨事件发生的“原因” 称 为 后验概率 后验概率可以通过 Bayes 公式进行计算 后验概率反映了试验后对各种“原因”发生的可能性大小的推断 先验概率反映了各种“原因” 发生的可能性大小（在试验前是知道的） Bayes公式的重要意义在于利用人们掌握的先验知识来推断后验概率 应用统计方法确定先验概率 应用 Bayes 公式计算机可计算出后验概率 应用医学知识确定 假定 为各种“疾病” 对人进行观察与检查, 可以确定某个指标，如体温、脉搏、血液中转氨酶含量等 对应于较大 的“疾病”可提供给医生作进一步的临床诊断. 例13 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 求P(C|A). 现在来分析一下结果的意义. 由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得: P(C｜A)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(C｜A)= 0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义. 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有