北京理工大学概率论13讲.ppt

二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，密度函数为 f (x)。 我们的目的是：寻找一个能体现随机变量取值的平均的量 将X 离散化 小区间[xi, xi+1) 阴影面积 近似为 在数轴上取等分点: … x?2 x?1 x0 x1x2 …， 则X 落在小区间 (xi, xi+1]的概率是 xk+1-xk=?x，k=0, ?1, ?2, ….。并设 xk 都是 f (x)的连续点. 定义一个离散型随机变量X*如下: 其数学期望存在，且 绝对收敛时， P(X *=xi)=P(xi X ? xi+1) ?f(xi) ?x 对于X *，当 E(X *)= 当分点越来越密，即?x?0时，我们可以认为 E(X *) ? E(X) X *=xi ， xi X ? xi+1 1、定义 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果 有限, 定义 X 的数学期望为 若 则称 X 的数学期望不 存在。 例9 设X~U(a,b)，求E(X) 2、常见连续型随机变量数学期望 解： X 的概率密度为 所以 例10 设X 服从参数为?的指数分布，求E(X) 解： X 的概率密度为 所以 例11 若X 服从 ，求E(X) 解： X 的概率密度为 所以 例12 设X 的概率密度为 求E(X) 解： 注意：不是所有的随机变量都有数学期望 例如：Cauchy分布的密度函数为 但 发散 它的数学期望不存在 三、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来. 例13：某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X（以年计），规定： X?1， 一台付款1500元 1 X ? 2 ，一台付款2000元 2 X ?3 ，一台付款2500元 X3，一台付款3000元 设 X 服从指数分布，且平均寿命为10年，求该商店一台电器的平均收费 解：设该商店一台电器的收费为Y. 要求E(Y) 设该商店一台电器的收费为Y X?1， 一台付款1500元 1 X ? 2 ，一台付款2000元 2 X ?3 ，一台付款2500元 X3，一台付款3000元 设 X 服从指数分布，且平均寿命为10年. 设该商店一台电器的收费为Y X?1， 一台付款1500元 1 X ? 2 ，一台付款2000元 2 X ?3 ，一台付款2500元 X3，一台付款3000元 设 X 服从指数分布，且平均寿命为10年. Y 的分布律为 Y P 1500 2000 2500 3000 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408 所以Y 的期望为 例14：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1, 2)服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接成整机，求寿命（以小时计）Z的数学期望。 解： Xk(k=1, 2)的分布函数为 解： Xk(k=1, 2)的分布函数为 由此，Z=min( X1, X2)的分布函数为 因而，Z的概率密度为 于是，Z的数学期望为 Z的概率密度为 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的. 使用上述方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，有时这一步骤是比较复杂的 . 2、设X是一个随机变量，Y=g(X) （1） 设X 为离散型随机变量, 且其分布律为 P(X= xk)=pk ，k=1, 2 ,…。若 绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且 （2） 设X 为连续型随机变量, 其概率密度为 f (x)，且 Y= g(X)也是连续型随机变量。若 绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且 例15.设离散型随机向量 X 的概率分布如下表所示,求 Z=X2 的期望. 1/4 1/4 1/2 P 1 ?1 0 X E(Z)= g