北京理工大学概率论14讲.ppt

二. 方差的性质 性质1: 若X=a，a为常数，则 D(X)=0 性质3: 若b为常数,随机变量X的方差存在，则bX的方差存在，且 D(bX) = b 2D(X) 性质2: : D(X+a)=D(X) 结合性质2与性质3就有 Var (bX + a ) = b2 Var(X) 性质4: 若D(X),DY 存在，则 D(X?Y)= DX + DY ? 2E(X-EX)(Y-EY) 证明: 性质5：若随机变量X,Y相互独立，它们的方差都存在，则X?Y的方差也存在，且 D(X?Y)=D(X)+D(Y) 证明: 因为 常数 所以 D(X?Y)= DX + DY ? 2E(X-EX)(Y-EY) = DX + DY 推论1: 若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，它们的方差都存在，则X1+X2+...+Xn的方差存在，且 推论2: 若随机变量X1, X2 ,…, Xn独立同分布，它们的方差都存在，则X1+X2+...+Xn的方差存在，且 性质6: D(X)=0 P(X= ?)=1， 这里? =E(X) P(X= x) 若随机变量X1, X2, … , Xn 的方差都存在， 则X1+X2+...+Xn的方差存在，且 性质7: 性质8: 假设E(X)= ?, 对任意常数C, 有 Var(X )= E(X – ?)2 ? E(X – C)2 , 等号成立当且仅当C = ?. 例14. 设X1, X2, …, Xn相互独立，有共同的期望? 和方差? 2? ，则有 证明: 例15.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1， 令Y= X1+X2+…+Xn .求 E(Y2). 解：由已知，则有 因此， 例16.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X～N(1,2), Y～N(0,1), 试求 Z=2X?Y+3 的期望和方差。 由已知，有E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=0, D(Y)=1, 且X和Y独立。因此， D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9. E(Z)= 2E(X)－ E(Y)+3 = 2+3=5, 解: 注：由此可知 Z～N（5, 9）。 例17：设随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布于N(?, 22), 问n应多大，才能使 解：因为 服从正态分布，且 服从正态分布，且 所以 又因为 所以 也即 等价地 所以 n应大于1537 例18：设随机变量X 的方差D(X)存在, 且D(X)?0令 其中E(X)是X的数学期望，求 解： 三．契比雪夫不等式 定理：设随机变量X 的方差D(X)存在，则对任意的? ? 0，均有 或等价地 0 ? -? 例19.已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。 解：由切比雪夫不等式 令 例20 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90? 解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数，则 E(X)=0.75n, 的最小的n . X~B(n, 0.75) 所求为满足 D(X)=0.75?0.25n=0.1875n =P(?0.01nX?0.75n 0.01n) = P{ |X?E(X)| 0.01n} P(0.74n X0.76n ) 可改写为 在切比雪夫不等式中取 n，则 = P{ |X?E(X)| 0.01n} 解得 依题意，取 即n 取18750时，可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的 概率至少为0.90 . 要求 可以推出 作业: 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的. 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 乙仪器测量结果 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮