北京理工大学概率论16讲.ppt

某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加某种医疗保险. 已知该类人在一年内生该种病的概率为0.006。每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在生病时可从公司领得1000元。问在此项业务活动中（2）保险公司获得利润（暂不计管理费） 不少于40000的概率是多少？ 求 例4. 当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴(mr)时,辐射会对人的健康造成伤害. 设一台彩电工作时的平均辐射强度是0.036(mr/h), 方差是0.0081. 则家庭中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害. 但是彩电销售店同时有多台彩电同时工作时,辐射可能对人造成健康伤害. 现在有16台彩电同时工作,问这16 台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率. 解: 用 Xi 表示第i台彩电的辐射量(mr/h),则 Xi 的数学期望 ?=0.036,方差?2=0.0081. Sn=X1+X2+… +X16 是16台彩电的辐射量. 题目要求P(Sn 0.5). 由中心极限定理, 有 这16台彩电以大约58%的概率会对人造成健康伤害. ?=0.036,?2=0.0081 例5. 假如在市场调查中独立获得10000个由四舍五入得到的用5位小数表示的近似数。设用一个5位小数 x* 近似表示一个实数时，其误差可看作是区间（?0.000005， 0.000005)上的均匀分布。求这10000个近似数和的误差小于某数的概率。 解：令 ?i 表示第 i 个数的误差，则 ?i ~ U(?0.000005， 0.000005) 且 E?i =0, D(?i) = 10 ?10/12 故由列维一林德伯格定理，有 令 ?i 表示第 i 个数的误差，则 ?i ~ U(?0.000005， 0.000005) E?i =0, D(?i) = 10 ?10/12 即 若取 k=3，则 这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实. 作业：3,7,8 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种: 与 大数定律 中心极限定理 定理1 切比雪夫大数定律的特殊情况 设 X1, X2, …是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，即 E(Xi)=? ， D(Xi)=? 2 ，i=1,2, … 则对任意的? ?0，有 切比雪夫 证明： 切比雪夫大数定律表明，当n充分大时， 与 ? 偏差很小的概率接近于1. 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述 当 n 很大时，X1, …, Xn 的算术平均值在概率 意义下接近于它们公共的均值? 设 Y1, Y2, … Yn …随机变量序列，a 是一个常数。若对任意的? ?0，有 则称序列Y1, Y2, … Yn… 以概率收敛于常数a 记为 以概率收敛于有以下性质 若 又 g(x, y) 设在点 (a, b) 连续，则 定理1 设 X1, X2, …是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，且 E(Xi)=? ， D(Xi)=? 2 ，i=1,2, … 则对任意的? ?0，有 即 以概率收敛于? .该收敛可表示为 定理2（辛钦大数定律） 设X1, X2, …是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)= ? ，i=1, 2,…, 则对任给? 0, 辛钦 即 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p 是一次试验中事件A发生的概率，则对任给的ε 0， 定理3（贝努里大数定律） 或 证明： 设 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p 是一次试验中事件A发生的概率 则有 且 由辛钦大数定律，有 独立同分布 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率 Sn/n 与事件A的概率 p 有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法. 例1：设X1, X2, …独立同分布，且 Xi 的k阶矩mk=E(Xi k)存在，则有 证明：令 则有 Y1,