北京理工大学概率论20讲.ppt

估计量的评选标准 对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同。 问题：采用哪一个估计量好? 设总体X~ F(x, ? ), 其中 ? 为未知参数。X1, X2,…, Xn为来自该总体的样本, 为 ? 的一个估计量。它是一个随机变量，当样本(X1, …, Xn)有观测值(x1, …, xn)时，估计值为 而当样本(X1, …, Xn)有观测值(y1, …, yn)时，估计值为 由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值。因此评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果来判断，而必须根据估计量的分布从整体上来做评价。 当样本值取不同的观测值时， 我们希望相应的估计值在未知参数真值附近摆动，而它的均值与未知参数的真值的偏差越小越好. 当这种偏差为0时，就导致无偏性这个标准 . 1．无偏性 则称 为 的无偏估计 . 设 是未知参数? 的估计量 若，有 ， 作为? 的估计的系统误差, 无偏估计的意义就是无系统误差。 在科学技术中,将 称为以 例1 设总体X ? N (?，? 2)，其中参数?,? 2 未知， X1, X2,…, Xn为来自总体的样本。试用极大似然估计法求?，? 2的估计量，并问是否是无偏估计？若不是，请修正它成为无偏估计。 解: 由前节例子可知?，? 2的最大似然估计估计量为 由于 所以 是 ? 的无偏估计,而 不是 ? 2 的无偏估计.若取 则它是 ? 2 的无偏估计. 例2 设总体X的k阶原点矩存在，记其为?k， X1, X2,…, Xn为来自总体的样本，问样本k阶矩 是否为?k的无偏估计 解：由于 因此样本k阶矩是总体k阶矩的无偏估计 例3 设X1, X2,…, Xn是来自总体X的样本，且E(X)=?。以下两个估计是否为?的无偏估计 解：因为 所以两个估计都是?的无偏估计 例4 设总体X 服从参数为? 的指数分布, 概率密度为 其中, 参数? 0 为未知, X1, …, Xn为来自总体的样本. 试证, 和nZ=n{min(X1, …, Xn)}都是? 的无偏估计. 解： 因为 所以 是? 的无偏估计. 设总体X 服从参数为? 的指数分布, 概率密度为 其中, 参数? 0 为未知, X1, …, Xn为来自总体的样本. 证 nZ=n{min(X1, …, Xn)}是? 的无偏估计. 因为Z=min(X1, …, Xn)的分布函数为 因为Z=min(X1, …, Xn)的分布函数为 所以 因此 即nZ=n{min(X1, …, Xn)}是? 的无偏估计 无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性这一概念 . 的大小来决定二者 和 一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 和 都是参数 ? 的无偏估计量， 比较 我们可以 谁更优 . 2．有效性 D( )? D( ) 且存在 的情形 则称 较 有效 . 都是参数 的无偏估计量，若有 设 和 D( ) D( ) 例5 设X1, X2,…, Xn是来自总体X的样本，且E(X)=?，DX=? 2。以下两个估计谁更有效？ 解：因为 所以 比 有效 ? 例6 设总体X 服从参数为? 的指数分布, 概率密度为 其中, 参数? 0 为未知, X1, …, Xn为来自总体的样本. 试比较 和nZ=n{min(X1, …, Xn)}谁更有效？ 解： 因为 又因为Z=min(X1, …, Xn)的分布函数为 所以 因此 所以 比nZ=n{min(X1, …, Xn)}更有效 3. 一致性 设 为未知参数? 的估计量，若对任意给定的? 0都有 则称 为参数? 的一致估计量 例6 设总体的k 阶矩存在，则样本的k 阶矩是否为总体k 阶矩的一致估计量？ 即 这一讲，我们介绍了参数点估计，讨论了估计量的优良性准则 . 给出了寻求估计量最常用的矩估计法和极大似然估计法 .