北京理工大学概率论21讲.ppt

前面，我们讨论了参数的点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计仅仅给出了未知参数的一个近似值，它没有反映出这种估计的精度. 区间估计正好弥补了点估计的这个这个不足之处. §2 区间估计 一 、定义 设X1 , …, Xn为来自总体X?F(x, ?）的一个样本，? ? ?为未知参数。若对于给定的?（0 ? 1），存在统计量 使得对所有的? ? ? 满足 则称随机区间 为参数? 的置信度为 1-? 的置信区间， 分别称为置信度 为1-? 的双侧置信区间的置信下限和上 限。置信度1-? 也称置信水平。 对一个具体的区间 而言 它可能包含?, 也可能不包含?, 包含? 的可信度为1?? 二 构造置信区间的方法 1. 枢轴量法的具体步骤 从未知参数? 的某个点估计 出发，构造 与? 的一个函数 使得H的分布已知，且与 ? 无关。该函数通常称为枢轴量。 利用不等式运算，将不等式 适当选取两个常数c, d，使对给定?的有 等价变形为 即 此时参数? 的置信度为1-? 的置信区间为，[A (X1 , …, Xn )，B (X1 , …, Xn)] 2. 如何确定c , d 我们总是希望置信区间尽可能短. 设 d，只要它们的纵标包含f(x)下1-?的面积，就确定一个1-?的置信区间. 的概率密度为 f(x)。任意确定两个数c和 在 c = ? d, d=f (.)的上? /2分位数. 当c = ?d 时求得的置信区间的长度为最短. 的概率密度为单峰且对称的情形， 当 的概率密度为不对称的情形，如 分布，F分布，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间. 例如 ~N(0, 1) 取 ? 的点估计为 求参数 ? 的置信度为 1?? 的置信区间. 例1 设X1,…Xn是取自N(?, ? 2) 的样本， ? 2已知 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 因为 对于给定的置信水平, 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平1??. ~N(0, 1) u?/2 ? u?/2 从中解得 于是所求? 的 置信区间为 说明：(1)L越小，置信区间提供的信息越精确；(2)置信区间的中心是样本均值；(3)置信水平 1?? 越大，z? /2越大，因此置信区间越长；(4)样本容量n越大，置信区间越短。 置信区间的长度为 例2 已知某地区新生婴儿的体重 X~N(?, ? 2) ， ? ，? 2未知。随机抽查n个婴儿得n个体重数据 X1,X2,…,Xn 求 ? 的区间估计（置信水平为1?? ） ~t(n ? 1) 取 ? 的点估计为 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 因为 对于给定的置信水平, 根据 t 的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平1??. ~t(n ? 1) 从中解得 均值 的置信水平为 的区间估计. 即为 例3 已知某地区新生婴儿的体重 X~N(?, ? 2) ， ? ，? 2未知。随机抽查n个婴儿得n个体重数据 X1,X2,…,Xn 求 ? 2 的区间估计（置信水平为1?? ） ~?2(n ? 1) 取 ? 2 的点估计为 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 因为 对于给定的置信水平, 根据枢轴量的分布， 确定一个区间, 使得枢轴量取值于该区间 的概率为置信水平1??. ~?2(n ? 1) 从中解得 于是 即为所求. 例4： 有一大批糖果.现从中随机的取16袋，称得重量(以克记)如下： 设每袋糖果的重量近似服从正态分布，试求总体均值 ? 和标准差? 的置信水平为0.95的置信区间。 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 解：（1）这是单总体方差未知，总体均值 的区间估计问题.均值 ? 的置信水平为1?? 的置信区间为 根据给出的数据，算得 这里 均值 ? 的置信水平为0.95 的置信区间为 总体标准差? 的置信水平为0.95的置信区间为 根据给出的数据，算得 s =6.2022. 这里 标准差? 的置信水平为0.95 的置信区间为 作业