北京理工大学概率论6讲.ppt

例6 设随机变量X 的概率密度为 求(1)常数k； （2）X 的分布函数； （3）P(1 X 7/2). 解： 例6 设随机变量X 的概率密度为 求(１)常数k； 解： 由 得 解： 例6 设随机变量X 的概率密度为 求(２) X 的分布函数； 当 x 0时， 当 0 ? x 3时， 解： 例6 设随机变量X 的概率密度为 求(２) X 的分布函数； 当 3? x 4时， 解： 例6 设随机变量X 的概率密度为 求(２) X 的分布函数； 当 x ?4时， 所以， 解： 例6 设随机变量X 的概率密度为 求（3）P(1 X 7/2). 在上例中， .为了方便，我们说 X 只在 [0，4]上取值。 一般地，若随机变量X的概率密度 f(x)是如下分段函数： 我们就说 X 只在[a，b]上取值。 例7 设连续型随机变量X 的分布函数为 求 （1）常数C值； （2）X 取值于（0.3，0.7）内的概率； （3）X 的密度函数的表达式。 例7 设连续型随机变量X 的分布函数为 求（1）常数C值； 解：应用连续型随机变量X 的分布函数的连续性，有 C 1 所以 C=1 例7 设连续型随机变量X 的分布函数为 求（2） X 取值于（0.3，0.7）内的概率； 解： 例7 设连续型随机变量X 的分布函数为 求（3） X 的密度函数 解： 例8 某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以 为概率密度的随机变量．求 5个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有2 个需要更换的概率. 解: 设 A = { 一元件在前150 小时内需要更换} 例8 某电子元件的寿命（单位：小时）的概率密度 求5个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有2 个需要更换(B)的概率. A = { 一元件在前150 小时内需要更换}, P(A)=1/3 检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5 重贝努里试验,所以 作业 18，20，21 §3 随机变量的分布函数 1. 概念 例1: 设 X 服从参数为p 的二点分布，即： k = 0,1 其中0p 1，q =1-p。求X 的分布函数F(x)。 则称 x 的函数 F(x) 为X 的概率分布函数, 简称为分布函数. 定义2.1 设 X 是一随机变量，对任意的实数x，令 0 x x X 当 1 ? x 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) =1 解: 当 x 0 时， F(x) = P(X?x) =0, 当 0 ? x 1 时， F(x) = P(X=0) =q k = 0,1, 求X 的分布函数F(x)。 所以 2. 离散型随机变量X 的分布函数 若X 的分布律为 ，i=1, 2, ... , 则X的分布函数为 ?B ?R1, P(X?B) 0 x 离散型 X 的分布函数是单调增加的，右连续的，具有跳跃型间断点{xi: i=1,2,…}的阶梯函数，在间断点处的跃度为 当 1 ? x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) =1/3 +1/6=1/2 当 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 例2 ，求 F(x). 解: 当 x 0 时， F(x) = P(X?x) =0 当 0 ? x 1 时， F(x) = P(X=0) =1/3 故 注意右连续 下面我们从图形上来看一下. 3. 随机变量分布函数F(x)的性质 (1) 单调性：若x1x2, 则F(x1) ? F(x2) 特别地 P(x1X?x2)=F(x2) ?F(x1) 证明: 事件 (x1 X ? x2), (X ? x1), (X ? x2) 满足 以下关系 (x1 X ? x2)＝ (X ? x2) －(X ? x1), (X ? x1) ?(X ? x2), 所以 F(x1)=P(X ? x1) ? F(x2)=P(X ? x2), P(x1 X ? x2)＝P{ (X ? x2) －(X ? x1)} ＝P(X ? x2) －P(X ? x1) x1 x2 (2) 非负性，规一性：对任意的实数x，均有 0? F(x)?1 ，且 (3) 右连续性: 对任意的实数x0 ,有 F(x)在 x 轴上处处右连续。 (4) P(X=x0)=F(x0) ? F(x0?