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【解析】(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,因此用频率估计相应的概率为0.44. (2)选择路线L1的有60人,选择路线L2的有40人,故由调查结果得出的频率为: 0.1 0.4 0.4 0.1 0 L2的频率 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 L1的频率 50～60 40～50 30～40 20～30 10～20 所用时间(分钟) (3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分 别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知:P(A1)=0.1+ 0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),所以甲应选择L1.又因 为P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B1)P(B2), 所以乙应选择L2. 考点2 随机事件间的关系 【典例2】(1)从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了三组事件: ①至少有1个白球与至少有1个黄球; ②至少有1个黄球与都是黄球; ③恰有1个白球与恰有1个黄球. 其中互斥而不对立的事件共有(　　) A.0组　　　　B.1组　　　　C.2组　　　　D.3组 (2)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,判断下列各对事件是否是互斥事件,并说明理由. ①恰有1名男生和恰有两名男生; ②至少有1名男生和至少有1名女生; ③至少有1名男生和全是男生; ④至少有1名男生和全是女生. 【解题提示】(1)对立事件是在互斥的基础之上,在一次试验中两个事件必定有一个要发生.根据这个定义,对各选项依次加以分析,不难得出符合题意的答案. (2)判断两个事件是否为互斥事件,就是考虑它们能否同时发生,如果不能同时发生,就是互斥事件,否则就不是互斥事件. 【规范解答】(1)选A.对于①,“至少有1个白球”发生时,“至少有1个黄球”也会发生,比如恰好一个白球和一个黄球,故①中的两个事件不互斥. 对于②,“至少有1个黄球”说明有黄球,黄球的个数可能是1或2,而“都是黄球”说明黄球的个数是2,故这两个事件不是互斥事件. ③“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都表示取出的两个球中,一个是白球,另一个是黄球.故不是互斥事件.故选A. (2)①是互斥事件.理由是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件. ②不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果,当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生了. ③不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生. ④是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,它和“全是女生”不可能同时发生. 【互动探究】第(1)题条件不变,根据摸出的结果写出三对对立事件. 【解析】①至少有1个白球与2个全是黄球; ②至多有1个白球与2个全是白球; ③1个白球1个黄球与两个都是白球或黄球. 【规律方法】 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生. (2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生. 2.判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件. 【变式训练】口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同的小球,从中取 出2球,事件A=“取出的两球同色”,B=“取出的2球中至少有一个黄 球”,C=“取出的2球至少有一个白球”,D=“取出的两球不同色”, E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 　　　　. ①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P(C∪E) =1;⑤P(B)=P(C). 【解析】当取出的2个球中一黄一白时,B与C都发生了,故②错;当取出 的2个球中恰有一白球时,C与E都发生了,故③错;P(B)= ,P(C)= , 故⑤错,①和④都是正确的. 答案:①④ 【加固训练】从6个男生、2个女生中任选3人,则下列事件中必然事件是(　　) A.3个都是男生 B.至少有1个男生 C.3个都是女生 D.至少有1个女生 【解析】选B.因为只有2个女生,任选3人,则至少有1人是男生. 考点3 互斥事件、对立事