北邮概率论讲议第8讲.pptVIP

北京邮电大学电子工程学院 证明：（1）当?为示性函数时，不妨假设 （2）当?为非负简单函数时，由可测函数积分的性质，即可证明。 （3）当?为非负随机变量时，利用单调收敛定理即可得证。 （4）当?为一般随机变量时，显然也成立。 第六节 几个重要的不等式 一、Chebyshev不等式 几个重要的不等式 第四章 随机变量的特征函数 为什么要引入特征函数？ 第一节 随机变量的特征函数 例1 例2 例3 例4 例5 另解： * * 1、关于事件的条件数学期望 定义3.5.1 设?是概率空间(?，F，P)上的随机变量，且E(?)存在，B? F ，P(B)0， (?，F，PB)为(?，F，P)在事件B下的条件概率空间，称 为?在给定事件B下的条件数学期望，记为E(?|B)。 定理3.5.1 若?在?上关于P的数学期望E(?)存在，P(B) 0，则E(?|B)存在，且 由定义3.5.3，有 则： 是一A-可测函数。 可以从以下几个方面来理解A-可测函数的意义: 2、随机变量?关于随机变量?=x的条件数学期望 前面给出了在?=x条件下?的条件分布函数F?|?(y|x)，我们将F?|?(y|x)简记为F(y|x)。考虑积分 。由于 是E(?)的积分表达式，那么将 理解为?=x的条件下?的条件数学期望是合理的，记为 二、关于给定σ-代数下的条件数学期望（不讲） 为了帮助大家充分理解条件数学期望的概念，下面给出随机变量的条件数学期望例。 仅对连续型随机变量的情况给予说明： 例1：随机变量X、Y的取值为1,2，…，n，其概率分布为： 求E(Y|i)，E(X|j)。 解：首先求出条件分布律为： 那么： 例2：设二维正态分布服从 N(0,1;0,1;r),试求f(y|x), f(x|y), E(Y|x), E(X|y)。 解：已知 同理可得： 而： 同理可得： 从此例可以看出，E(Y|x)，E(X|y)分别是x和y的函数。 而E(Y|X)=rX； E(X|y)=rY。 三、Cr-不等式 解 例 解 例 解 例 积分的逆运算是微分（或求导），而求导运算要比积分运算简单得多，因此是否可将求数学期望的积分问题简化为求导问题？ 用分布函数求独立随机变量和的分布需要用卷积，是否可将卷积运算简化为乘积运算？ 一、随机变量的特征函数 定义4.1.1 知特征函数的定义有意义。 若?为离散型随机变量，其分布律为： 若?为连续型随机变量，分布函数为f(x)，则?的特征函数为：