中南大学概率论课件简tl第2章随机变量及其分布.pptVIP

机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 设F(x)是随机变量X的分布函数, 若存在非负可积函数f(x), (-?x+?), 使对一切实数x, 均有 则称X为连续型随机变量, 且称f(x)为随机变量X的概率密度函数, 简称概率密度或密度函数. 常记为X～ f(x), (-?x+?) X─连续型随机变量, 则X的分布函数必是连续函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 概率密度函数的性质 (1) (2) 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.v X的 概率密度函数的充要条件. f (x) x o 面积为1 (3) (4) 若f(x)在x0处连续, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 密度函数的几何意义为 密度函数曲线位于Ox轴上方. 即y=f(x), y=a, y=b, x轴所围成的曲边梯形面积. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续型r.v取任一指定值的概率为0. 即: a为任一指定值. 这是因为 需要指出的是: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得, 对连续型 r.v X, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面给出几个r.v的例子. 由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确定. 所以, 若已知密度函数, 该连续型r.v的概率规律就得到了全面描述. f (x) x o 机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面我们来求一个连续型r.v的分布函数. 例 设r.v X的密度函数为 f (x) 求F(x). 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 对x1, F(x)=1 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习 求 F(x). 由于f(x)是分段 表达的, 求F(x)时 注意分段求. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = 0 1 F(x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对连续型r.v, 若已知F(x), 我们通过求导也可求出f(x), 请看下例. 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例设r.v X的分布函数为 (1) 求X取值在区间 (0.3, 0.7)的概率； (2) 求X的概率密度. 解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3) =0.72-0.32=0.4 (2) f(x)= 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 r.v X的概率密度为: 则称X服从区间(a, b)上的均匀分布, 记作: X ～ U(a, b) 它的实际背景是: r.v X 取值在区间 (a, b)上, 并且取值在(a, b)中任意小区间 内的概率与这个小区间的长度成正比. 则X具有(a, b)上的均匀分布. 均匀分布 若X~U[a, b], 则X具有下述等可能性: X落在区间[a, b]中任意长度相同的子区间里的概率是相同的. 即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度, 而与子区间的位置无关. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意实数c, d ( ), l=d-c, 都有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 X的分布函数 f(x), F(x)的图像分别为 O f(x) a b x F(x) 1 O a b x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5分钟的概率. 解: 依题意, X～ U(0, 30) 以7:00为起点0, 以分为单位 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为使候车时间X少于5分钟, 乘客必须在 7:10到7:15之间, 或在7:25到7:30之间到达车站. 所求概率为: 从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30等时刻有汽车到达汽车站, 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数分布常用于可靠性统计研究中, 如元件的寿命. 则称X服从参