17代数学基础群和子群的基本概念.pptVIP

子群中的逆元素 由于eH = eG，因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元。 子群的判别 (1) 子群的判别方法： 子群的判别(2) 设H是群G的一个非空子集, H是G的子群的充要条件是对任意的元素x, y H, 有xy-1 H. 子群的判别 (3) 当 H 是一个有限集合时，判别会变得容易些，只需满足封闭性即可： 拉格朗日定理 陪集（Coset）的定义 拉格朗日定理： 商群的概念 注: 此处，首先应说明商群上的运算是一个二元运算。 实际上，商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算，因为： 商群的例子(1) 设 n0 是一个整数，在加法运算下，集合 nZ={0, n, -n, 2n, -2n,…}是Z的一个子群， 那么商群 Z/nZ={x+nZ | x为任一整数} 有n个元素，即 Z/nZ={0+nZ,1+nZ,…,n-1+nZ} 可以看出Z/nZ=Zn 事实上，Z/nZ是Zn的正式和标准记法，为了表达的方便， 用Zn代替Z/nZ。 商群的阶 商群的例子(2) 群元素的阶 注：当一个元素g的阶ord(g)有限时，如果有gn =e成立，则必有ord(g)|n，即n一定是ord(g)的倍数。 例子（1） 在时钟群Z12中： 12是满足112=0 (mod 12)的最小正整数，所有ord(1)=12； 类似地，ord(2)=6，ord(3)=4，ord(4)=3， ord（5）=12。 例子（2） {0, 1}关于异或运算形成一个群，ord(0)=1, ord(1)=2. 例子（3） 在群Roots(x3-1)中，ord(u)=ord(v)=3，ord(1)=1. 例子（4） 在Z中，ord(1)= 。 推论 （拉格朗日） 推论提供了群的阶和群中元素的阶之间的关系。 欧拉定理和费马小定理可以直接由推论得到： 欧拉函数： 欧拉定理： 费马小定理： * 代数学基础 内容提要 群 环和域 有限域 群 一般来说，一个代数结构是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体，要求二元运算满足一定的条件。 定义 群的定义 . 注意： 有限群和无限群： 如果集合 G 中的元素个数有限，就称群G为 有限群；否则称为无限群。 阿贝尔群 阿贝尔群又称交换群（commutative group)，本章中出现的所有群都是指交换群。 举例 下面，我们给出群的一些具体例子。 群的例子（1） 整数集 Z 在加法下构成群，记为(Z, +). (Z, +)是一个无限群、阿贝尔群。 有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法都形成无限群。单位元，逆元素的定义与整数加法群相同。 群的例子（2） Q、R 和 C中的非零元素在乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。 这三个群的完整表示是(Q*, , (R*, , (C*, 。 将这些群称为乘法群。 群的例子（3） 对任意自然数 n , 整数模 n 集合构成一个包含 n 个元素的有限加法群，这里的加法运算是模 n 加，将这个群记为Zn 。 这个群的完整表示为（Zn，+(mod n)）. 注意: Zn 是 Z/nZ的简化表示。 群的例子（4） 时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12 , 将（ Z12 , +(mod 12))称为时钟群。 群的例子（5） Zn={0, 1, 2, …, (n-1)} Zn中所有与 n 互素的的元素是Zn的一个子 集, 这个子集按照模 n 乘法运算构成一个群，用Zn*表示。 例如， (Z15*, (mod15) ) = ({1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}, (mod15) ) 群的例子（6） 集合B={0,1}，在异或运算下形成群。 群的例子（7） x3 -1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。 x =1是方程的一个解，该方程有三个根。 用u和v表示其它两个根。由于 x3 -1=(x-1)(x2 + x + 1) 则u和v是 x2 + x + 1